تحليل دور الحديث الرياضي في نمو الفهم الرياضي لموضوع الکسور لدى تلاميذ الصف الرابع الابتدائي باستخدام نموذج بيري وکيرين

کلیة التربیة
کلیة معتمدة من الهیئة القومیة لضمان جودة التعلیم
إدارة: البحوث والنشر العلمی ( المجلة العلمیة)
=======

تحلیل دور الحدیث الریاضی فی نمو الفهم الریاضی
لموضوع الکسور لدى تلامیذ الصف الرابع الابتدائی
باستخدام نموذج بیری وکیرین

إعــــــــــداد
د/ مریم موسى متى عبد الملاک
مدرس بکلیة التربیة بالوادی الجدید
جامعة الوادی الجدید

 المجلد الخامس والثلاثون – العدد التاسع – سبتمبر2019م 
http://www.aun.edu.eg/faculty_education/arabic

المستخلص:
هدف البحث الحالی إلى تحلیل دور الحدیث الریاضی فی نمو الفهم الریاضی لموضوع الکسور لدى تلامیذ الصف الرابع الابتدائی وذلک باستخدام نموذج بیری وکیرین. استخدم البحث الحالی تصمیم دراسة الحالة . تکونت عینة البحث من ستة تلامیذ (من مستویات تحصیلیة مختلفة) من تلامیذ الصف الرابع الابتدائی ممن درسوا موضوع الکسور باستخدام استراتیجیة الحدث الریاضی. تم تقسیم التلامیذ الست إلى أزواج متعاونة، وتم إعطاء کل زوج ورقة نشاط واحدة لیقوموا بحلها معا باستخدام الحدیث الریاضی. تم تحلیل تفاعل ازواج التلامیذ والحدیث الذی دار بینهم باستخدام نموذج بیری وکیرین للفهم الریاضی. تمثلت أدوات جمع البیانات فی اختبار المعرفة السابقة لموضوع الکسور، مقابلات شبة مقننة قائمة على المهام، الملاحظة، المسودات المیدانیة، أوراق عمل التلامیذ. أوضحت النتائج أن الحدیث الریاضی بین التلامیذ ساعدهم على الانتقال من مستوى المعرفة البدائیة إلى مستوى إضفاء الطابع الرسمی وفقا لمستویات الفهم الریاضی لبیری وکیرین. کذلک کشفت النتائج عن أربعة سلوکیات أساسیة للحدیث الریاضی والتی کان لها دورا فی نمو فهم التلامیذ الریاضی لموضوع الکسور کما اوضحه التحلیل باستخدام نموذج بیری وکیرین. هذه السلوکیات هی: الاستفسار، شرح وتفسیر التفکیر، التبریر، تحمل المسئولیة. فی ضوء ما أسفرت عنه النتائج یوصی البحث بضرورة تطویر مقررات الریاضیات من خلال تنظیمه فی ضوء مراحل نمو الفهم الریاضی وفقا لنموذج بیری وکیرین، واتاحة الفرص امام التلامیذ لحل المشکلات بشکل تعاونی والمشارکة فی الحدیث الریاضی مع اقرانهم ومعلمیهم.

The present research aimed at analyzing the role of math talk in the development of mathematical understanding of fractions in the fourth-grade pupils using the Pirie and Kieren model. The research used the case study design. The research sample consisted of six pupils (from different levels of achievement) of fourth graders who studied fractions using math talk. The six pupils were divided into co-operative pairs, and each pair was given a single activity sheet to solve together using math talk. The interactions between the pupils’ pairs and the conversation between them were analyzed using the Pirie and Kieren model of mathematical understanding. Data collection tools were: the pre-knowledge testing of fractions, semi- structure task-based interviews, observations, field notes, and student worksheets. The results showed that math talk among the pupils helped them to move from the level of primitive knowledge to the level of formalization. The results also revealed four basic behaviors of math talk which played a role in the development of the pupils' understanding of fractions as explained by the Pirie and Kieren model. These behaviors were: questioning, explanation and interpretation of thinking, justification, responsibility. In light of the results, the research recommends the need to develop mathematics courses through organizing it in the light of the levels of the development of mathematical understanding according to the Pirie and Kieren model, and to provide opportunities for students to solve problems in a cooperative manner and participate in math talk with their peers and teachers.

مقدمه:
یجب أن یتعلم التلامیذ الریاضیات بفهم. القدرة علی الفهم الریاضی هو عامل ضروری للتعلم؛ فالمتعلمون الذین لدیهم القدرة على الفهم الریاضی یمکنهم معرفة المزید من الحقائق وحل المشکلات المطروحة باستخدام طرق متنوعة وباستخدام العملیات والعلاقات الریاضیة. یعد فهم التلامیذ للکسور أمرًا أساسیًا لتعلم الریاضیات حیث یعتبر متنبأ لتحصیل التلامیذ للریاضیات فی الاعوام اللاحقة (Siegler, Fazio1, Bailey, & Zhou, 2013; Torbeyns et al., 2015). کذلک تنبع أهمیة الکسور من کونها متطلب یبنى علیه موضوعات ریاضیة أخرى لا یمکن فهمها بدون اتقان الکسور والعملیات علیها مثل مجموعة الاعداد النسبیة والعبارات الکسریة فی المراحل التالیة من التعلیم (الزهرانی، ٢٠١٨). کما تلعب الکسور دورا محوریا فی العدید من المواد الدراسیة مثل العلوم والاقتصاد المنزلی والجغرافیا (Siegler et al., 2013) . مساعدة التلامیذ على تحقیق أساس متین فی الکسور له تداعیات کبیرة على المدى الطویل، حیث تستمر التحدیات وسوء الفهم التی یواجها التلامیذ فی فهم الکسور فی حیاة البالغین وتشکل مشکلات فی مجالات واسعة مثل الطب والرعایة الصحیة والبناء وبرامج الکمبیوتر (Bruce et al., 2013). مما یجعل الأمر یستحق قضاء الوقت والجهد لتعزیز فهم التلامیذ فی السنوات الابتدائیة لضمان نجاح الطالب فی الریاضیات والحیاة المهنیة اللاحقة. لذا یجب أن یتم تعلیم وتعلم الکسور فی سیاق ینمی الفهم الریاضی لدى التلامیذ.
على الرغم من أن الکسور هی واحدة من أکثر المفاهیم التی تم بحثها فی الریاضیات، وهناک العدید من الدراسات والجهود المبذولة لتدریس هذه المفاهیم بشکل فعال من أجل فهم أفضل، لا تزال هناک العدید من الصعوبات والمشاکل حول مفاهیم الکسور، والعملیات علیها (الزهرانی، ٢٠١٨، شلش، ٢٠١٨، حسین، ٢٠١٤)، (Bruce, Chang, & Flynn, 2013; Gokalp, 2012; Mills, 2011) . وقد کشفت الدراسات العقبات الشائعة أمام فهم التلامیذ للکسور. ومع ذلک، لا تزال هناک حاجة إلى فهم عملیات نمو فهم التلامیذ الریاضی لموضوع الکسور مما یمکن من مساعدة المتعلمین فی إثراء فهمهم للکسور.
نظرا لأهمیة الفهم الریاضی، سعى الباحثون إلى تحدید الطبیعة المعقدة للفهم الریاضی فیما یتعلق بمراحل نمو الفهم الریاضی والطرق التی قد تسهم فی نمو الفهم الریاضی لدى التلامیذ. جزء مهم من هذا الجهد یشمل العمل الذی قاما به بیری وکیرین (Pirie & Kieren, 1994) لوصف نمو الفهم الریاضی للتلامیذ بناء على النظریة البنائیة. وصف بیری وکیرین الفهم الریاضی على شکل سلسلة من الدوائر المدمجة، کل دائرة تمثل مستوى من الفهم بحیث یحتوی کل مستوى من مستویات الفهم على جمیع المستویات السابقة، وفی نفس الوقت یکون کل مستوى جزء لا یتجزأ من جمیع مستویات الفهم اللاحقة. فی هذا النموذج، لا یشیر مصطلح "نمو الفهم" إلى عملیة خطیة، ولکن یحدث النمو من خلال حرکة مستمرة ذهابًا وإیابًا خلال مستویات الفهم، ومع الاتجاه العام نحو مستویات الفهم الخارجیة الأکثر تقدما، حیث تمثل أی حرکة، حتى الحرکة للخلف، تطور للفهم (Pirie & Martin, 2000) .
یتمیز نموذج بیری وکیرین للفهم بالعدید من المزایا مقارنة مع نماذج الفهم الأخرى. أولا: نموذج بیری وکیرین لیس نموذج عام للفهم. بدلا من ذلک، یعد نموذج بیری وکیرین نموذج لنمو الفهم الریاضی فی موضوع معین (Pirie & Kieren, 1994) . ثانیا: یسمح نموذج بیری وکیرین بمراقبة نمو فهم شخص معین أو مجموعة محددة (Pirie & Kieren, 1994; Martin, 2001) . ثالثًا: یسمح نموذج بیری وکیرین بتصویر نمو الفهم خلال فترة زمنیة مثل الساعات أو الأیام أو الأسابیع أو حتى السنوات فتقدم معلومات کافیة حول کیفیة تحلیل فهم المتعلمین (Pirie & Kieren, 1994). رابعا: یمکن استخدام نموذج بیری وکیرین من قبل المعلم أو الباحث کأداة للنظر إلى الفهم المتنامی کما یحدث ولفهم کیف ینمو الفهم (Pirie & Kieren, 1994) . هناک العدید من الدراسات الأجنبیة التی استخدمت نموذج بیری وکیرین للفهم کإطار نظری(e.g., Warner & Schorr, 2004; Warner, 2008; Duzenli-Gokalp & Sharma, 2010; Gokalp, 2012; Gulkilik, Ugurlu, & Yuruk 2015; Sengul & Argat, 2015) ، ولکن یوجد عدد قلیل من الدراسات العربیة (أبو عرة، ٢٠١٤) –فی حد علم الباحثة- تناولت نموذج بیری وکیرین للفهم. من هذه الدراسات خلصت الباحثة إلى التأکید على فعالیة نموذج بیری وکیرین للفهم فی تقییم نمو فهم التلامیذ الریاضی. لذلک استخدم البحث الحالی نموذج بیری وکیرین کإطار نظری لتحلیل فهم التلامیذ لموضوع الکسور.
لکی یستطیع التلامیذ تعلم الکسور بفهم، فهم بحاجة إلى بناء المفاهیم بأنفسهم، وممارسة التفاعل مع الأفکار ومع الآخرین، والتفکیر فی الأفکار الجدیدة من حیث علاقتها بما یعرفونه بالفعل، وهذا ما یحققه الحدیث الریاضی (Warner & Schorr, 2004) . هناک اتفاق واسع نسبیا فی المجتمع العلمی على أن هناک علاقة بین الحدیث والتفکیر والتعلم (Resnick, Asterhan, & Clarke, 2018) . ففی الفصول التی تشجع الحدیث، لا یکرر التلامیذ الحقائق المحفوظة، بل یجادلون ویشارکون فی نشاط مدروس، ویستمعون إلى بعضهم البعض، ویطرحون الأسئلة على بعضهم البعض (Bertolone-Smith, 2016) . فی هذه الفصول، یفکر التلامیذ بصوت عالٍ حول مشکلة تتطلب التعاون، ویستفسرون عن نتیجة مثیرة للدهشة، ویشرحون ویتأملون تفکیرهم، ویبنی التلامیذ على أفکار زملاءهم أو یتحدونها أو یوضحونها، ویفکرون فی الحل المقترح، ویقدمون ادعاءات مضادة أو تفسیرات بدیلة(Resnick et al., 2018) .
قد نال الحدیث الریاضی الکثیر من الاهتمام فی الآونة الأخیرة لأسباب عدیدة. أولا: مناقشة التلامیذ لأفکارهم مع أقرانهم وتحت توجیه المعلمین تعتبر خطوة أساسیة فی نمو الفهم الریاضی لدیهم (Bertolone-Smith, 2016). ثانیا: یوصی المجلس الوطنی لمدرسی الریاضیات (٢٠١٤) بتشجیع الحدیث الریاضی الهادف بین التلامیذ فی الصفوف الدراسیة من الروضة وإلى التعلیم الثانوی من أجل تعمیق فهم التلامیذ للمفاهیم الریاضیة (NCTM, 2014) ، وذلک لأن "اخبار" التلامیذ من خلال التعلیم المباشر لا یکفی لتدریس الأفکار التی یکون فیها مصدر المعرفة داخل الطالب (Chapin, O’Connor, & Anderson, 2009). ثالثا: من خلال هذه المحادثات، یصبح فهم التلامیذ أکثر وضوحا، ویصبحون أکثر قدرة على فحص الثغرات فی معرفتهم ومراجعة أفکارهم ومن ثم یمکنهم بناء المعرفة الریاضیة (Barnes, 2008). من ناحیة أخرى، یصبح المعلم أکثر قدرة على معرف تفکیر التلامیذ ومن ثم تقویمه وتوجیهه فی المسار الصحیح إذا سمح للتلامیذ بالتحدث عن أفکارهم الریاضیة. رابعا: عندما یتعلم التلامیذ الریاضیات من خلال مناقشة طریقهم نحو الفهم، یصبحون أفضل لیس فقط فی الریاضیات ولکن أیضًا فی مواد أخرى مثل العلوم والأدب (Resnick et al., 2018) .
قد أجریت عدد من الدراسات الأجنبیة(e.g., Foss, 2013; Frank, 2013; Okamoto, 2015; Washington, 2015; Payan, 2017) وقلیل من الدراسات العربیة (مثل: بشای، ٢٠١٦) - فی حد علم الباحثة - حول استخدام استراتیجیة الحدیث الریاضی فی تدریس الریاضیات. أوضحت الأبحاث فعالیة استراتیجیة الحدیث الریاضی فی تدریس الریاضیات حیث أدى الحدیث الریاضی إلى تنمیة مهارات الطلاقة الحسابیة فی عملیتی الجمع والطرح لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة (بشای، ٢٠١٦)، وتنمیة تحصیل تلامیذ ریاض الأطفال (Payan, 2017) وتحصیل تلامیذ المرحلة الابتدائیة وتطویر مهارات التفکیر الناقد وحل المشکلات لدیهم (Washington, 2015)، وتنمیة الحس العددی لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة (Okamoto, 2015) . رغم أن الأبحاث المهتمة بالحدیث الریاضی أوضحت فعالیة الحدیث الریاضی فی تدریس الریاضیات، إلا أنه لم یتم تناول الطرق التی یساعد بها الحدیث الریاضی التلامیذ على تطویر الفهم. هناک حاجة لإظهار ما إذا کان الحدیث الریاضی یمکن أن یساعد تلامیذ المدارس الابتدائیة على بناء فهم ریاضی وکیف یمکن للحدیث الریاضی القیام بذلک.
فی ضوء ما سبق فقد اهتم البحث الحالی بتحلیل دور الحدیث الریاضی فی نمو فهم تلامیذ المرحلة الابتدائیة لموضوع الکسور وذلک باستخدام نموذج بیری وکیرین للفهم الریاضی.
مشکلة البحث:
رغم من أهمیة الکسور، إلا أنها تتضمن مفاهیم یصعب تعلمها وتدریسها وتمثل تحدیات تربویة مستمرة لمجتمع تعلیم الریاضیات (الزهرانی، ٢٠١٨، شلش، ٢٠١٨، حسین، ٢٠١٤)، (Bruce et al., 2013; Mills, 2011). یرى (Mills, 2011) أن فهم معنى الکسر وکیفیة التعامل معها (أی الجمع والطرح والضرب والقسمة) غالبا ما یکون شاقا بالنسبة إلى العدید من التلامیذ، بل أن الکثیر منهم لا یعرف کیفیة تطبیق المعرفة الکسریة بنجاح فی الحیاة الیومیة. وهذا ما تجمع علیه کثیر من الدراسات المحلیة کدراسة (حسین، ٢٠١٤)، (علی، ٢٠٠٤) وکذلک الدراسات العربیة مثل دراسة (الرویلی، ٢٠١٧)، (الزهرانی، ٢٠١٨)، (العزو، ٢٠٠٥)، (شلش، ٢٠١٨) والتی تتفق على أن تلامیذ المرحلة الابتدائیة یعانون من صعوبة عند تعاملهم مع الکسور. تتمثل صعوبة الکسور فی عدم القدرة على بناء المفاهیم الأساسیة للکسور والعملیات الحسابیة علیها إلا جزء من هذه المفاهیم الأساسیة (الرویلی، ٢٠١٧). ینعکس ذلک بشکل واضح على تحصیل التلامیذ لموضوع الکسر، فقد اشارت العدید من الدراسات المحلیة (مثل: عطیفی، ٢٠٠٨) والعربیة (مثل الرویلی، ٢٠١٧، الحواس، ٢٠١٦، مقدادی، ملکاوی، الزعبی، ٢٠١٣) إلى تدنی تحصیل التلامیذ للکسور، مما یعکس ضعف فهم التلامیذ للکسور.
وقد شعرت الباحثة بتلک المشکلة من خلال:
١- ملاحظة الباحثة:
لاحظت الباحثة من خلال حضورها لبعض حصص الریاضیات فی المرحلة الابتدائیة أثناء التدریب المیدانی أن التلامیذ یمکنهم فهم المفاهیم البسیطة بینما یواجهون صعوبة فی تعلم المزید من المفاهیم المجردة فی الکسور. على سبیل المثال، بعض التلامیذ ینظرون إلى الکسر على أنه یتکون من عددین لا علاقة بینهما (البسط والمقام). وبعضهم یرى أصغر من . کما أن التلامیذ لا یحاولوا فهم المنطق وراء العملیات على الکسور بل یلجئوا إلى حفظ القواعد والصیغ. ونتیجة لذلک یعجزون عن اختیار العملیة الحسابیة المناسبة للمشکلة، ویعجزون عن تطبیق ما تعلموه على مواقف الحیاة الواقعیة. علاوة على ذلک، لا یتیح المعلمون الفرصة للتلامیذ لیصفوا افکارهم الریاضیة وأن یشرحوها ویدافعوا عنها ویبرروها.
٢- الدراسة الاستطلاعیة:
لتدعیم الإحساس بالمشکلة، أجرت الباحثة دراسة استطلاعیة عن طریق تطبیق اختبار الکسور على عینة من تلامیذ الصف الخامس الابتدائی (٣٠ تلمیذ) بمدرسة الجغیلی بمدینة الخارجة محافظة الوادی الجدید. تکون الاختبار من ١٠ أسئلة. شمل الاختبار قیاس فهم التلامیذ لمفهوم الکسر، تکافؤ الکسور، مقارنة الکسور، جمع الکسور، طرح الکسور. کان متوسط النسبة المئویة لدرجات التلامیذ یساوی (٤٩٪).
وبذلک تتحدد مشکلة البحث الحالی فی تدنی مستوى فهم تلامیذ المرحلة الابتدائیة لموضوع الکسور.
أسئلة البحث:
حاول البحث الإجابة عن السؤال الرئیس التالی:
کیف یسهم الحدیث الریاضی فی نمو الفهم الریاضی لموضوع الکسور لدى تلامیذ الصف الرابع الابتدائی؟
أهداف البحث:
هدف البحث إلى تحلیل دور الحدیث الریاضی فی نمو الفهم الریاضی لموضوع الکسور لدى تلامیذ الصف الرابع الابتدائی وذلک باستخدام نموذج بیری وکیرین.
أهمیة البحث:
تتمثل أهمیة البحث الحالی فی أنه قد یفید:
١- معلمی الریاضیات:
- تزوید معلمی الریاضیات بفهم أعمق للکیفیة التی یمکن أن یخلقوا بها بیئة تعلیمیة تقوم على تشجیع الحدیث الریاضی بین التلامیذ.
- تزوید معلمی الریاضیات بإطار لعملیات نمو فهم التلامیذ الریاضی لموضوع الکسور مما یمکنهم من تنظیم أهدافهم التعلیمیة على أساس هذا النمو.
- من خلال تحلیل سلوکیات الحدیث الریاضی لدى التلامیذ وکیف تتوافق هذه السلوکیات مع مستویات الفهم المختلفة، یمکن للمعلمین أن یقیموا ویتدخلوا بشکل أکثر فعالیة فی الحدیث الریاضی.
٢- المتعلمین:
- مساعدة المتعلمین فی إثراء فهمهم للکسور.
- إثراء البیئة التعلیمیة للمتعلم من خلال اتاحة الفرصة للتلامیذ لیتحدثوا عن افکارهم الریاضیة ویشرحوها ویدافعوا عنها ویبرروها.
٣- القائمین على تخطیط وتطویر مناهج الریاضیات المدرسیة:
من خلال تصمیم المنهج وفقًا لمراحل نمو الفهم الریاضی.
٤- الباحثین فی تدریس الریاضیات:
- فتح المجال أمام الباحثین لإجراء بحوث ودراسات متعلقة باستخدام استراتیجیة الحدیث الریاضی فی تدریس وحدات أخرى.
- فتح المجال أمام الباحثین لإجراء بحوث ودراسات متعلقة باستخدام نموذج بیری وکیرین لتحلیل فهم التلامیذ الریاضی لموضوعات أخرى.
حدود البحث:
اقتصر البحث على الحدود التالیة:
١- مجموعة من تلامیذ الصف الرابع الابتدائی بمدرسة الأمل الابتدائیة بمدینة الخارجة محافظة الوادی الجدید (محل إقامة الباحثة).
٢- وحدة الکسور المقررة على تلامیذ الصف الرابع الابتدائی، الفصل الدراسی الثانی للعام الدراسی ٢٠١٨/٢٠١٩، یرجع سبب اختیار هذه الوحدة إلى:
- أن کثیر من التلامیذ یجدون صعوبة أو التباسا فی معالجة الکسور وفی إجراء العملیات الحسابیة علیها، وقد أکدت ذلک عدد من الدراسات مثل (حسین، ٢٠١٤)، (علی، ٢٠٠٤)،(الرویلی، ٢٠١٧)،(الزهرانی، ٢٠١٨)،(العزو، ٢٠٠٥)،(شلش، ٢٠١٨).
- تحتوی هذه الوحدة على مفاهیم وتعمیمات ومهارات تعتبر متطلبات أساسیة فی الریاضیات للصف الرابع الابتدائی ومتطلبات أساسیة لمقرر الریاضیات فی السنوات التالیة.
- تمثل الوحدة مجالا خصبا لاستخدام الحدیث الریاضی.
٣- تحلیل فهم التلامیذ لموضوع الکسور وفقا لنموذج بیری کیرین.
مصطلحات البحث:
تبنى البحث المصطلحات الإجرائیة التالیة:
الحدیث الریاضی:
الحدیث الریاضی عبارة عن المحادثات التی تدور بین تلمیذین او أکثر حول الریاضیات حیث یقوموا بشرح افکارهم الریاضیة لبعضهم البعض ویدافعون عنها ویبررونها.
الفهم الریاضی:
الفهم الریاضی هو عملیة دینامیکیة، مستویة غیر خطیة، مستمرة ومتسقة لهیاکل المعرفة (Pirie & Kieren, 1994) ، ویمکن تقییمها باستخدام نموذج بیری وکیرین للفهم الریاضی.
نموذج بیری وکیرین:
نموذج بیری وکیرین هو نموذج لتحلیل النمو فی الفهم لدى تلامیذ معینین وفی موضوع معین خلال عدد من المستویات یتحرک خلالها التلمیذ ذهابا وإیابا أثناء قیامه ببناء فهمه الریاضی. هذه المستویات هی: المعرفة البدائیة، تکوین الصورة، امتلاک الصورة، ملاحظة الصفات، إضفاء الطابع الرسمی.
منهج البحث:
استخدام البحث الحالی تصمیم دراسة الحالة. یصف (McMillan, 2008) تصمیم دراسة الحالة بأنه "تحلیل متعمق لواحد أو أکثر من الأحداث، أو البرامج، أو المجموعات الاجتماعیة، أو المجتمعات، أو الأفراد فی سیاقها الطبیعی" (ص ٢٨٨). تتضمن دراسة الحالة نوعین: دراسة الحالة الفردیة Single case study ودراسة الحالة المتعددة(Yin, 2009) Multiple case study . یمکن أن تساعد وحدة التحلیل فی الدراسة فی تحدید ما إذا کانت دراسة الحالة الفردیة أو دراسة الحالة المتعددة مناسبة(Yin, 2009) .تم استخدام دراسة الحالة المتعددة فی البحث الحالی لأن وحدة التحلیل هی أزواج التلامیذ الذین یستخدمون الحدیث الریاضی. تم تقسیم التلامیذ موضع الدراسة (٦ تلامیذ) إلى ثلاثة أزواج متعاونة لحل مشکلات الکسور باستخدام الحدیث الریاضی.
یرجع السبب لتطبیق تصمیم دراسة الحالة فی الدراسة الحالیة إلى الأسباب التالیة:
- تستخدم دراسة الحالة للحصول على فهم عمیق للموقف حیث یکون الاهتمام منصب على العملیةProcess والتی بها کان للمعالجة التأثیر الذی أحدثته، بدلا من الترکیز على النتائج (Merriam, 1998) . وبذلک فإن دراسة الحالة مناسبة للبحث الحالی والذی هدف إلى فحص مراحل نمو فهم التلامیذ للکسور فی ضوء نموذج بیری کیرین وعلاقة ذلک باستخدامهم للحدیث الریاضی.
- أحد السمات الرئیسیة لدراسة الحالة هو دراسة الظاهرة کما تحدث فی سیاقها الطبیعی مما یؤدی إلى فهم ذو معنى یحدث من خلال ملاحظة السلوک الفعلی للمشارکین(McMillan, 2008) . وبذلک فإن دراسة الحالة مناسبة للبحث الحالی حیث تمکن من رؤیة المشارکین یتصرفون ویعملون ویتحدثون ویحلون أثناء استخدامهم للحدیث الریاضی.
- یقدم منهج دراسة الحالة وصفًا غنیًا للظاهرة قید الدراسة ونظرة ثاقبة على تفرد معنى الأحداث والإجراءات من خلال استخدام مصادر معلومات غنیة ومتنوعة (Yin, 2009) . استخدام دراسة الحالة جوهری فی البحث الحالی للحصول على وصف غنی ذو معنى لمراحل نمو الفهم الریاضی وفقا لنموذج بیری وکیرین وعلاقة هذا النمو باستخدام التلامیذ للحدیث الریاضی.
مجتمع وعینة البحث:
تم تطبیق استراتیجیة الحدیث الریاضی فی فصل من فصول الصف الرابع الابتدائی (٣٢ تلمیذ) بمدرسة الامل الابتدائیة بمدینة الخارجة محافظة الوادی الجدید. تم اختیار ستة تلامیذ من هؤلاء التلامیذ لیکونوا عینة البحث.
مواد وأدوات البحث:
تم إعداد واستخدام المواد التجریبیة التالیة:
١- دلیل المعلم لتدریس وحدة الکسور للصف الرابع الابتدائی وفقا لاستراتیجیة الحدیث الریاضی.
٢- أوراق عمل التلمیذ لمحتوى وحدة الکسور وفقا لاستراتیجیة الحدیث الریاضی.
کما تم إعداد واستخدام أدوات جمع البیانات التالیة:
١- اختبار المعرفة السابقة لموضوع الکسور.
٢- مقابلات شبة مقننة قائمة على المهام Semi- Structure Task-Based Interviews:
٣- الملاحظة:Observation
٤- المسودات المیدانیة:Field Notes
٥- أوراق عمل التلامیذ.
خطوات البحث وإجراءاته:
١- الاطلاع على البحوث والدراسات والادبیات التی تناولت استراتیجیة الحدیث الریاضی، ونموذج بیری وکیرین للفهم الریاضی، والکسور.
٢- تحلیل محتوى وحدة الکسور المقررة على تلامیذ الصف الرابع الابتدائی وتحدید جوانب التعلم فیها من مفاهیم وتعمیمات ومهارات.
٣- إعداد دلیل المعلم فی وحدة الکسور وفقا لاستراتیجیة الحدیث الریاضی.
٤- إعداد أوراق عمل التلمیذ فی وحدة الکسور وفقا لاستراتیجیة الحدیث الریاضی.
٥- اعداد اختبار المعرفة القبلیة لموضوع الکسور.
٦- إعداد مهام المقابلات.
٧- تطبیق اختبار المعرفة القبلیة لموضوع الکسور ومهام المقابلات تطبیقا قبلیا على عینة استطلاعیة.
٨- تطبیق اختبار المعرفة القبلیة لموضوع الکسور على کل تلامیذ الفصل موضع البحث لتحدید معرفتهم القبلیة لموضوع الکسور.
٩- اختیار مجموعة البحث.
١٠- تدریس موضوع الکسور للفصل موضع البحث باستخدام استراتیجیة الحدیث الریاضی.
١١- ملاحظة الباحثة للتلامیذ موضع البحث فی الفصل أثناء تدریس الکسور باستخدام استراتیجیة الحدیث الریاضی، وتدوین ملاحظات عن فهم التلامیذ الریاضی لموضوع الکسور.
١٢- مقابلات الباحثة مع التلامیذ موضع البحث خارج الفصل بعد تدریس کل موضوع من موضوعات وحدة الکسور، وتکلیفهم بحل مشکلات الکسور فی أزواج، والتسجیل الصوتی لهذه المقابلات.
١٣- نسخ المقابلات مع التلامیذ وتحلیلها باستخدام نموذج بیری وکیرین وباستخدام سلوکیات الحدیث الریاضی.
١٤- تفسیر النتائج، وتقدیم التوصیات والمقترحات.
الإطار النظری:
أولا: استراتیجیة الحدیث الریاضی:
الحدیث الریاضی هو تبادل الأفکار والمعلومات الریاضیة فی بیئة تعلیمیة باستخدام لغة ریاضیة رسمیة أو غیر رسمیة(Bertolone-Smith, 2016) . یختلف الحدیث الریاضی عن المناقشة فی فصول الریاضیات التقلیدیة، حیث یتمثل الهدف من المناقشة فی فصول الریاضیات التقلیدیة فی نقل الحقائق وتوضیح الاجراءات على النحو الذی تحدده الکتب المدرسیة أو المعلم، بینما الغرض من الحدیث الریاضی هو الترکیز على الأفکار الریاضیة وتشجیع الجدال الریاضی بدلاً من مجرد تقدیم الحقائق والإجراءات(Resnick et al., 2018).
مکونات استراتیجیة الحدیث الریاضی:
قدم (Hufferd-Ackles, Fuson, & Sherin, 2004) أربعة سلوکیات للحدیث الریاضی:
- طرح الأسئلة: یعد طرح الأسئلة على التلامیذ مکون أساسی للحدیث الریاضی. فی الحدیث الریاضی، هناک تحول من المعلم کطارح للأسئلة إلى التلامیذ کطارحین للأسئلة مع المعلم، کذلک هناک تحول فی الهدف من طرح الأسئلة من الترکیز على إیجاد إجابات للأسئلة إلى الترکیز على توضیح التفکیر الریاضی وراء الإجابات. فی استراتیجیة الحدیث الریاضی، یبدأ التلامیذ الحدیث مع بعضهم البعض، بدون الاعتماد على المعلم حیث یسأل التلامیذ أسئلة لبعضهم البعض ویستمعون إلى ردودهم. العدید من الأسئلة هی أسئلة "لماذا؟" التی تتطلب تقدیم مبرر من الشخص.
- توضیح وتبریر التفکیر: یعد توضیح وتبریر التلامیذ لتفکیرهم الریاضی المکون الثانی لاستراتیجیة الحدیث الریاضی. فی الحدیث الریاضی، یصف التلامیذ استراتیجیاتهم فی الحل، ویدافعون ویبررون تفکیرهم الریاضی. یتتبع المعلم بدقة وصف التلامیذ لتفکیرهم، ویشجعهم على عمل تفسیرات، ویحفزهم على التفکیر بعمق حول الاستراتیجیات التی استخدموها بأن یسأل اسئلة لیجعل توضیحاتهم أکثر اکتمالا. کما یدرک التلامیذ أن غیرهم من التلامیذ سوف یطرحون أسئلة علیهم، لذلک فهم حریصون على أن تکون استراتیجیاتهم وافکارهم واضحة.
- مصدر الأفکار الریاضیة: فی استراتیجیة الحدیث الریاضی، هناک تحول من المعلم کمصدر للأفکار الریاضیة إلى التلامیذ کمصدر للأفکار. فی الحدیث الریاضی، یفکر التلامیذ ویفهمون الریاضیات بدلاً من مجرد محاولة تقلید کلمات وأفعال المعلم حیث یتیح المعلم مزیدًا من الفرص للطلاب لاستکشاف المحتوى واقتراح طرق بدیلة ومتعددة وذلک عن طریق طرح المزید من الأسئلة المفتوحة بدلاً من الأسئلة الموجهة. یتحول دور المعلم من کونه السلطة الوحیدة فی نقل المعلومات وتأکید الإجابات الصحیحة إلى دور المیسر، والسائل، والمستمع، والمتعلم حیث یقوم المعلم بالاستماع إلى تفکیر التلامیذ بدلاً من الترکیز على إجابة نهائیة صحیحة ولذا یطرح أسئلة مفتوحة النهایة. إن الوصول إلى مستوى أن الطالب مصدر للأفکار الریاضیة یعتمد على عاملین: أولاً، اکتساب التلامیذ الثقة بأن أفکارهم حول الریاضیات صحیحة ومهمة. ثانیاً، اقتناع المعلم أن الأفکار التی یساهم بها التلامیذ مهمة للاستکشاف.
- مسؤولیة التعلم: فی استراتیجیة الحدیث الریاضی، تحولت مسؤولیة التعلم من المعلم إلى التلامیذ حیث أصبح التلامیذ مسئولین عن تعلمهم وتعلم زملائهم فی الفصل. تتضح مسؤولیته التلامیذ عن تعلمهم فی رغبتهم فی طرح الأسئلة فی الصف، وحرصهم على الذهاب إلى السبورة لإظهار فهمهم للمشکلات المطروحة، وتطوعهم للمشارکة فی مساعدة زملائهم المتعثرین.
خطوات التدریس وفقا لاستراتیجیة الحدیث الریاضی:
التدریس وفق لاستراتیجیة الحدیث الریاضی یتم خلال الخطوات التالیة(Payan, 2017; Okamoto, 2015; Washington, 2015; Foss, 2013; Frank, 2013) :
أولا: تقدیم المشکلة:
یقدم المعلم مشکلة للفصل بأکمله أو لمجموعة صغیرة. یجب اختیار المشکلات المرتبطة بالأفکار الریاضیة الأساسیة ویمکن حلها باستراتیجیات متعددة، وتتطلب من التلامیذ تفسیر وتبریر إجراءاتهم وفهمهم فی شکل شفهی أو مکتوب (Okamoto, 2015). کما وجد (Durfee, 2018) أن اختیار المشکلات ذات مستوى مناسب من التعقید یلعب دورا أساسیا فی مستوى انخراط التلامیذ فی الحدیث الریاضی، کذلک المهام ذات السیاقات الغیر مألوفة للطلاب تؤدی إلى مستوى منخفض من الحدیث الریاضی.
ثانیا: تفکیر التلامیذ فی الحل بشکل فردی:
یعطی المعلم التلامیذ ٥ دقائق للعمل مع المشکلة فردیا. یمکن أن یشیر التلامیذ بهدوء إلى المعلم عندما یتوصلوا إلى الإجابة. یتم تشجیع التلامیذ على التفکیر فی طریقة مختلفة للحل إذا وجدوا طریقة واحدة قبل انتهاء الوقت المخصص. أثناء قیام التلامیذ بالحل، یتنقل المعلم بین التلامیذ مراقبا حلول التلامیذ دون التدخل بالمساعدة أو تصحیح الخطأ.
ثالثا: مناقشة التلامیذ لتفکیرهم:
یناقش التلامیذ طریقتهم فی التوصل إلى الحل. یمکن أن یتم ذلک من خلال مناقشة الفصل ککل، أو المناقشة فی مجموعات صغیرة، أو المناقشة فی أزواج. یعطی المعلم التلامیذ سؤال لیناقشوه فیما بینهم. یبدأ التلامیذ الحدیث مع بعضهم البعض، بدون الاعتماد على المعلم. یسأل التلامیذ أسئلة لبعضهم البعض والاستماع إلى ردودهم. العدید من الأسئلة هی أسئلة "لماذا؟" التی تتطلب تقدیم مبرر من الشخص. أثناء مناقشات التلامیذ فی مجموعات، یتنقل المعلم بین مجموعات التلامیذ؛ یلاحظ ویتدخل عند الضرورة ولکن لا یتحکم فی سیر المناقشة.
رابعا: التلخیص:
فی هذه المرحلة یلخص المعلم الحقائق والمعارف الجدیدة التی تناولها الدرس.
دور المعلم فی استراتیجیة الحدیث الریاضی:
• للمعلم دور رئیس فی بناء مجتمع من المتعلمین مبنی على الاحترام المتبادل (Chapin et al., 2009; Gulkilik et al., 2015). لن یستطیع المعلم تطبیق الحدیث الریاضی ما لم یؤسس ثقافة فی الفصل تقوم على احترام أفکار الأخرین، إذا خشی التلامیذ من سخریة أقرانهم من أفکارهم، لن یشارکوا فی الحدیث مهما کان نوع الإغراءات التی یقدمها المعلم لهم. لذلک فإن الخطوة الأولى لخلق بیئة مشجعة على الحدیث الریاضی هی وضع المعلم لقواعد واضحة للتفاعل بین التلامیذ، کما یجب أن یکون هناک نتائج واضحة لأی اختراق لهذه القواعد (Chapin et al., 2009) .
• أثناء المحادثات بین التلامیذ، یجب أن یکون المعلم منتبهاً باستمرار إلى المحادثات الریاضیة بین التلامیذ (Durfee, 2018) . ومع ذلک، لا یجب أن یمارس المعلم سلطة مطلقة، بل یتوقع من المعلم مشارکة السلطة الریاضیة مع التلامیذ مع توفیر المعرفة الریاضیة للمساعدة فی تجمیع مواضیع النقاش (Bertolone-Smith, 2016).
• یقوم المعلم بتسهیل الحوار بین التلامیذ من خلال طرح الأسئلة. فیتنقل المعلم من مجموعة لأخرى لطرح الأسئلة أثناء عمل التلامیذ بشکل تعاونی لحل المشکلات وإکمال المهام. کما یسأل المعلم أسئلة مفتوحة النهایة تتطلب من التلامیذ تبریر تفکیرهم أو ربط إجاباتهم بمفهوم آخر، کأن یسأل "کیف عرفت ذلک"، "ماذا یحدث إذا"(Durfee, 2018) .
• کذلک یراقب المعلم مشارکة التلامیذ خلال المناقشات، فکل طالب علیه مشارکة فکرة أو التعلیق على فکرة زمیله أو طرح سؤال توضیحی حول أحد أفکار زمیله. یشجع المعلم التلامیذ على طلب توضیح من رفاقهم والبناء على إجابات رفاقهم (Durfee, 2018) .
• على الرغم من أن المعلم لدیه رأیه الخاص فی طریقة الحل التی یتمنى أن یقوم به تلامیذه، فإنه لا یخبرهم أو یعلم "بشکل مباشر"، ولا یقول المعلم نعم أو لا للإجابات الصحیحة أو الخطأ. وبدلاً من ذلک، یبدأ بطرح سؤال لیبحث عما یعتقده التلامیذ عن الإجابة الصحیحة، ولماذا. فبعد أن یقوم أحد التلامیذ بالحل، یسأل المعلم "من یوافق على هذا الحل؟" مما یسمح له بمراقبة والتحقق من أنواع الفهم التی یقوم طلابه ببنائها، وبذلک فهو یسمح ویشجع فصله على مشارکة فهمهم وفهم تصوراتهم الخاطئة (Martin, 2001) .
ممیزات استراتیجیة الحدیث الریاضی:
• یدعم الحدیث الریاضی تعلم التلامیذ من خلال بناء بیئة اجتماعیة تشجع التلامیذ على التعامل مع بعضهم البعض کشرکاء متساوین فی التفکیر، والاستکشاف، وتبادل الأفکار(Chapin et al., 2009) .
• یقدم الحدیث بین التلامیذ فرصة لاستکشاف واختبار الأفکار المتکونة جزئیاً مع الآخرین، کما یقدم فرصة للتلامیذ لمساعدة ودعم بعضهم البعض فی بناء المعرفة المشترکة من خلال التفاوض على الأفکار المختلفة من أجل التوصل إلى توافق فی الآراء ((Barnes, 2008.
• فی استراتیجیة الحدیث الریاضی، لا یعطی المعلم التلامیذ الإجابة الصحیحة ولا یرفض الإجابات الخاطئة، ولکن یحاول أن یشجع التلامیذ على فحص تفکیرهم. تکشف هذه المناقشات تفکیر التلامیذ الخاطئ وسوء الفهم والتی تعد معلومات هامة یحتاجها المعلم للتخطیط للتدریس ولقیادة تفکیر التلامیذ الریاضی(Chapin et al., 2009) .
• یمکن أن یلعب الحدیث الریاضی دورا حاسما فی مساعدة التلامیذ على تحسین قدرتهم على التفکیر المنطقی(Chapin et al., 2009) . فعندما یقوم التلامیذ بمناقشة زملائهم فی الاستراتیجیة التی استخدموها للتوصل إلى الحل فإن هذا یؤدی إلى تنمیة وتطویر مهارات التفکیر الریاضی لدیهم (بشای، ٢٠١٦). عندما یقدم أحد التلامیذ ادعاء، ویطلب منه أدلة لدعم هذا الادعاء، فإنه یتعلم تدریجیًا کیفیة إنشاء الحجج ودعمها مما یسهم فی تنمیة مهارات التفکیر المنطقی لدیهم (Chapin et al., 2009).
• یمرن الحدیث التلامیذ على التفکیر فی عملیات التفکیر الخاصة بهم. فممارسة الحدیث یجعل التلامیذ قادرین على تنسیق الأفکار والفهم داخل رؤوسهم مع أفکار ومعلومات التلامیذ الآخرین (Chapin et al., 2009).
• کلک من مزایا الحدیث فی الفصول الدراسیة هو بناء ثقة التلامیذ بشأن قدرتهم على المشارکة فی النقاش الفکری (Chapin et al., 2009). مساعدة التلامیذ على تعلم التحدث بالطرق التی یقیّمها علماء الریاضیات تؤدی إلى تغییرات حقیقیة فی کیفیة تقدیم التلامیذ لأفکارهم وفی کیف یشعرون عن أنفسهم کمفکرین، وسیساعدهم ذلک فی النهایة على تحقیق نتائج جیدة فی المراحل المتقدمة فی المدارس الثانویة والکلیات حیث تتطلب المواد الدراسیة القدرة على تقدیم حجج علمیة ومنطقیة (Chapin et al., 2009).
ثانیا: الفهم الریاضی:
نظر بیری وکیرین (Pirie & Kieren, 1989)إلى الفهم الریاضی کظاهرة معقدة لا یمکن تمییزها بسهولة إلى فئتین أو ثلاث فئات أو تحدیدها على أنها منتج نهائی. وصف بیری وکیرین الفهم الریاضی بانه عملیة متکررة کاملة ودینامیکیة وغیر خطیة بینما ینتقل تفکیر المرء بین مستویات الفهم (Pirie & Kieren, 1994) . یؤکد بیری وکیرین (Pirie & Kieren, 1992) أن مستویات الفهم المختلفة لا تتحقق مرة واحدة ولکل التلامیذ، فالتلامیذ الذین یظهرون سلوکیات ریاضیة متشابهة قد یکون لدیهم فهم مختلف، کما أن هناک مستویات مختلفة من الفهم فی الموضوع الواحد ویمکن للتلامیذ الوصول إلیها من خلال مسارات مختلفة. کذلک التلامیذ المختلفون سیظهرون أنواعًا مختلفة من الفهم عند التعامل مع نفس المهمة الریاضیة، بل أن مستویات الفهم تختلف عند التلمیذ الواحد من مهمة ریاضیة لأخرى.
مستویات الفهم وفقا لنموذج نموذج بیری وکیرین للفهم الریاضی:
فیما یلی شرح لمستویات الفهم وفقا لنموذج بیری وکیرین:
(Pirie & Kieren, 1994; Pirie & Kieren, 1992; Pirie & Martin, 2000)
١- المعرفة البدائیة: Primitive Knowing
المعرفة البدائیة هی المعرفة السابقة التی یحضرها التلامیذ إلى موقف التعلم. من هذه المعرفة البدائیة، یجب اختیار المعرفة المناسبة واستخدامها کأساس لنمو الفهم.
مثال: فی درس جمع الکسور، یفترض أن یعرف التلمیذ کیفیة جمع الأعداد الطبیعیة.
٢- تکوین الصورة: Image Making
یشیر مصطلح "الصورة" إلى أی أفکار قد تکون لدى المتعلم حول الموضوع، أو طریقة لإیجاد حل مشکلة ریاضیة، ولیس فقط صور مرئیة. ما هو حاسم فی هذا المستوى هو أن أفعال التلمیذ تنطوی على القیام بشیء، إما عقلیا أو جسدیا، مثل استخدام أشیاء مادیة أو أشکال أو رسوم أو رموز من أجل تطویر الفهم الأولی للمفهوم.
مثال: فی درس جمع الکسور، یقوم الطالب ببعض المحاولات (لیس بالضرورة أن یکون کلها صحیح) لجمع کسرین مختلفی المقامات
٣- امتلاک الصورة:Image Having
فی مستوى امتلاک الصورة، یکون لدى المتعلم خطة عقلیة عامة أو صورة حول موضوع أو مشکلة ریاضیة، ولم یعد المتعلمون مرتبطین بأنشطة حقیقیة. یستخدم التلامیذ الصورة التی کونوها حول موضوع ما دون الاضطرار بالضرورة إلى القیام بالإجراء المحدد الذی أدى إلى تکوین الصورة. هذا یحرر التلمیذ من الاضطرار إلى تنفیذ إجراءات مادیة معینة مرتبطة بکل صورة. یمکن الآن للمتعلم التفکیر فی هذه الصور العقلیة واستخدامها فی معرفته الریاضیة. من المهم الإشارة إلى أن الصور فی هذا المستوى لیست بالضرورة أن تکون کاملة أو صحیحة.
مثال: فی موضوع الکسور، لا یحتاج التلامیذ إلى رسم الرسوم المقسمة لمقارنة الکسور البسیطة، ولکن یمکنهم ترتیب ١/٣ على أنه أصغر من ١/٢ على أساس الصورة الذهنیة التی بنوها.
٤- ملاحظة الصفات: Property Noticing
فی هذا المستوى، یستطیع المتعلم أن یتأمل صورته ویدرک خصائصها وسماتها؛ ذلک لملاحظة الخصائص التی قد تمتد خارج الأمثلة والحالات المحددة التی من خلالها تم التوصل للصورة. وهذا ینطوی على ملاحظة الروابط بین الصور وتحدید العلاقات بین التفاصیل المختلفة. ما زال هذا المستوى مرتبطًا باستخدام أمثلة محلیة غیر رسمیة.
مثال: فی درس مقارنة الکسور، یدرک التلمیذ أنه عند تساوی المقامات فإن الکسر الذی بسطه أکبر البسوط هو الکسر ذو القیمة الکبرى.
٥- إضفاء الطابع الرسمی: Formalizing
ینطوی النمو إلى هذا المستوى من الفهم على التعبیر عن طرق الحل باستخدام المصطلحات الرسمیة التی تسمح للطفل بفهم جزء من الریاضیات کحالات عامة. یطور التلامیذ طرق مجردة أو قواسم مشترکة بین الصور السابقة لتمییز الخصائص التی لوحظت. مع الوعی الذاتی، یضفی التلامیذ صبغة رسمیة على فهمهم ویحولون صور المفهوم إلى تعریفات ریاضیة أو خوارزمیات. لا یقتصر فهمهم للمفهوم الریاضی على التمثیلات المرئیة، بل یمکنهم حل المشاکل الریاضیة باستخدام المفاهیم والرموز المتعلقة بالمفهوم فقط. ولکن لیس استخدام الرموز هو الذی یمیز مستوى إضفاء الطابع الرسمی عن مستوى تکوین الصورة أو امتلاک الصورة أو ملاحظة الصفات، بل ما یمیز مستوى إضفاء الطابع الرسمی هو المعانی المجردة المعطاة للرمز. یتمیز هذا المستوى بقدرة التلامیذ علی تأمل وعمل تمییزات فی المجموعات التی کونوها وشعورهم بالثقة فیما یقومون به حتى لو کان ذلک الفهم لدیه صفة محلیة غیر رسمیة. عندما لا یحتاج المرء إلى التحدث بشکل محدد ویمکنه إصدار بیان عام، فهو یضفی الطابع الرسمی.
مثال: یدرک المتعلم فی هذا المستوى أنه إذا قام بطی أی کسر (نصفین) ن مرة، فإن القطع الجدیدة عبارة عن ٢ ن. لکن استخدام الجبر لیس شرطًا ضروریًا لهذا المستوى.
خصائص نموذج بیری وکیرین:
١- الطی العکسی: الرجوع إلى الخلف: Folding Back
إحدى السمات الهامة لنظریة بیری وکیرین للفهم هی فکرة الطی العکسی. یحدث الطی العکسی عندما یواجه التلامیذ مشکلة لا یمکن حلها على الفور بمستوى فهمهم الحالی، فیقوم التلمیذ بالعودة إلى مستوى من الفهم أقل تقدما لتوسیع الفهم الحالی غیر الکافی وغیر الکامل من خلال إعادة بناء الفهم السابق للمفهوم وإعادة تنظیمه، وإنشاء صور جدیدة تساعده على مواصلة بناء الفهم الریاضی (Pirie & Kieren, 1994; Pirie & Martin, 2000). على سبیل المثال، عند جمع کسور مختلفة المقامات مثل ١/٢، ٢/٣ (مستوى إضفاء الطابع الرسمی)، قام تلمیذ بالطی العکسی إلى رسم البیتزا (تکوین الصورة)، وأعاد تشکیل صورة للنصفین والثلثین مجتمعتین، ثم استخدام خاصیة إنشاء کسور مکافئة. وهکذا، من مستوى إضفاء الطابع الرسمی قام التلمیذ بالطی العکسی إلى مستوى تکوین الصورة لفهم العملیة المطلوبة فی مستوى إضفاء الطابع الرسمی، ثم استخدم خاصیة التکافؤ لغرض خلق معنى لجمع الکسور. لا یمکن للمعلم أن یعتقد أن تلمیذ وصل إلى مستوى رسمی من فهم الکسور، وبالتالی سوف یستخدم خوارزمیات رسمیة من الآن فصاعدا للتعامل مع المهام، بل یجب أن یکون المعلم على درایة بأن التلمیذ سوف یتراجع (الطی العکسی) إلى إجراءات أقل رسمیة وأقل تعقیدًا کجزء من عملیة النمو المعتادة (Pirie & Kieren, 1992). یمکن تحفیز الطی العکسی من خلال المعلم، أو الرفاق، أو المتعلمین أنفسهم(Sengul & Argat, 2015) .
٢- لا حاجة إلى وجود حدود: Don’t Need Boundaries
یستخدم بیری وکیرین(Pirie & Kieren, 1994) عبارة "لا تحتاج" لتوضیح فکرة أنه إذا کان الشخص فی مستوى معین من الفهم، فلن یحتاج إلى مستویات الفهم السابقة حتى یصل إلى مستوى فهم أعلى حیث یمکن للمرء أن یعمل مع مستوى معین من الفهم او استنتاج معین دون الحاجة إلى الرجوع إلى صور عقلیة أو مادیة معینة. هذا لا یعنی، بالطبع، أنه لا یمکن للمرء العودة إلى مستویات أقل تجریدا إذا لزم الأمر. کما یمکن أن ینتقل الفرد عند تعلمه لموضوع معین من مستوى فهم إلى مستوی لا یلیه مباشرة، إذ لا یتطلب ذلک منه المرور فی ذلک المستوی الذی تعداه.
الحدیث الریاضی والفهم الریاضی:
هناک علاقة وثیقة بین حدیث التلامیذ عن الریاضیات وفهمهم للریاضیات، تتمثل هذه العلاقة فی الآتی:
• فی استراتیجیة الحدیث الریاضی، لم یعد المعلم هو المسؤول الأول عن توجیه المعلومات، بل یحاول المعلم تشجیع التلامیذ على المشارکة بتفکیرهم وتوضیح الخطوات التی استخدموها فی تفکیرهم والبناء على اسهامات التلامیذ الآخرین. إن مطالبة التلامیذ بالحدیث عن المفاهیم والإجراءات وطرق حل المشکلات الریاضیة یساعدهم على فهم أعمق وأکثر وضوحًا. هذا الحدیث یمکن أن یوضح لهم ما یفهمونه وما لا یفهمونه، وماذا یفکر التلامیذ الآخرون فی نفس هذه القضایا (Chapin et al., 2009).
• یدعو الحدیث بین التلامیذ إلى تفاعل طالب إلى طالب وتوفیر فرصة للمتعلمین لمراجعة تفکیرهم من خلال الحدیث أو بسبب الحدیث ((Barnes, 2008. عند المشارکة فی التفکیر أو حل المشکلات، یشجع الحدیث التلامیذ على تتبع فهمهم (أو عدم فهمهم) لحظة بلحظة. عندما لا یفهمون شیئًا ما، فإنهم یعالجون على الفور ارتباکهم بطرح سؤال أو إیقاف العملیة بفعالیة حتى یجدون طریقة لمعالجة ما لا یفهمونه(Chapin et al., 2009) .
• عند تحدث التلامیذ عن أفکارهم، یقوم التلامیذ بالتفکیر فی کیفیة شرح وتفسیر تفکیرهم بطریقة متماسکة وکاملة حتى یتمکن الآخرون من فهمها. کذلک عند قیام التلامیذ بصیاغة أفکارهم أو شرح أفکارهم للآخرین، قد یدرکون المفاهیم الخاطئة لدیهم أو عدم اکتمال أفکارهم. من ناحیة أخرى، استماع التلامیذ إلى أفکار التلامیذ الآخرین یمکن أن یکشف لهم أفکار جدیدة وطرق تفکیر مختلفة، ویشجع التلامیذ على إعادة النظر فی أفکارهم مما یؤدی إلى ترسیخ أو توضیح تفکیرهم (Okamoto, 2015)
الحدیث الریاضی ونموذج بیری وکیرین للفهم:
هناک علاقة بین استراتیجیة الحدیث الریاضی ونموذج بیری وکیرین للفهم تتمثل فی الآتی:
• ینظر نموذج بیری وکیرین إلى الفهم على أنه شیء مختلف عن کونه عملیة داخلیة عقلیة یتم فیها اکتساب فکرة ثابتة ثم تطبیقها. بدلا من ذلک، یؤکد نموذج بیری وکیرین على التعلم والفهم على أنهما عملیة تفاعلیة، حیث یتم الفهم خلال افعال الفرد وتفاعله مع الآخرین ومع البیئة، وبذلک یمکن النظر إلى الفهم لیس فقط على أنه ذاتی وفرید بشکل فردی، ولکن أیضًا کشیء یمکن مشارکته من خلال التفاعل (Pirie & Martin, 2000). وبذلک، فی بیئة تفاعلیة من الفصل ککل، یمکن أن ینمو الفهم الریاضی للأفراد وللفصل ککل حیث تنشأ المعرفة الجماعیة المشترکة والفهم الفردی معا من خلال توفر "مساحة تفکیر" لهم لبناء وتعدیل صورهم الخاصة کاستجابة لتدخلات الاخرین (Martin, 2001) .
• وفقا لنموذج بیری وکیرین، یظهر الفهم ویتحقق بشکل تفاعلی فی المناقشة بین أفراد مجموعة تعمل معاً، وقد لا یعزى إلى أنه ناشئ عن أی فرد بعینه، فنمو الفهم یحدث کعملیة تفاعلیة دینامیکی دائمة التغیر، حیث یوجد فهم مشترکة ویظهر فی مناقشات أفراد المجموعة(Martin & Towers, 2015) .
• فی مستوى تکوین الصورة، یستکشف التلمیذ ویلعب بالشکل لیرى ما یمکن أن یکون طریقة مفیدة للمضی قدما. فی الفهم الریاضی الجماعی تکون هذه العملیة جماعیة ولیست عملیة فردیة یقوم بها التلمیذ بشکل فری. هذه العملیة المتمثلة فی دمج المساهمات الفردیة لإنشاء فکرة أو تمثیل مشترک متماسک هی ما یجعلنا نعتبر ذلک بمثابة تکوین صورة جماعیة (Martin & Towers, 2015).
• فی مستوی امتلاک الصورة الجماعیة، یکون لدى المجموعة فکرة قابلة للتطبیق وقابلة للاستخدام لحل المشکلة (Martin & Towers, 2015).
• یمثل مستوى ملاحظة الصفات الجماعیة عودة إلى أنواع التعاون المشترک فی مستوى تکوین الصورة الجماعیة، هناک مرة أخرى تشابک فی العروض الفردیة لتحقیق صیاغة مشترکة وتحدید ما یتم ملاحظته بشکل عام ولماذا (Martin & Towers, 2015).
إعداد أدوات الدراسة:
أولا: تحلیل محتوى الوحدة:
تم تحلیل محتوى وحدة "الکسور" للصف الرابع الابتدائی، وذلک بهدف استخراج ما تتضمنه من مفاهیم وتعمیمات ومهارات (ملحق ١). بعد إجراء عملیة التحلیل تم حساب صدق وثبات التحلیل کما یلی:
أ- صدق التحلیل:
تم عرض نتائج التحلیل على مجموعة من المحکمین من أساتذة المناهج وطرق تدریس الریاضیات، وموجهی ومدرسی الریاضیات، وذلک بهدف تعرف مدى شمولیة نتائج التحلیل. وقد أکدت أراء المحکمین شمولیة التحلیل لجوانب التعلم المتضمنة بالوحدة.
ب- ثبات التحلیل:
تم التوصل إلى حساب ثبات التحلیل باتباع الخطوات التالیة:
• قیام الباحثة بعملیة التحلیل.
• قیام أحد الزملاء بعملیة التحلیل.
• حساب معامل الثبات للتحلیل باستخدام معادلة هولستی.
وقد وجد أن معامل الثبات بالنسبة للمفاهیم ١٠٠٪، وبالنسبة للتعمیمات ٩٢٪، وبالنسبة للمهارات ٨٧٪، وبالنسبة لعناصر التحلیل ککل ٩٢٪ وهذه القیمة یمکن الوثوق بها مما یدل على ثبات التحلیل.
ثانیا: إعداد دلیل المعلم:
فی ضوء نتائج تحلیل وحدة الکسور تم إعداد دلیل للمعلم وفق استراتیجیة الحدیث الریاضی (ملحق ١)، حیث أشتمل الدلیل على ما یلی:
- مقدمة: تعطی فکرة مختصرة للمعلم عن استراتیجیة الحدیث الریاضی، وخطوات التدریس وفق استراتیجیة الحدیث الریاضی.
- الخطوات الاجرائیة لاستراتیجیة الحدیث الریاضی:
- تحلیل محتوى وحدة الکسور المتضمنة بمقرر الریاضیات للصف الرابع الابتدائی.
- الأهداف العامة لوحدة "الکسور" لتلامیذ الصف الرابع الابتدائی.
- الخطة الزمنیة لتدریس موضوعات الوحدة.
- عرض موضوعات الوحدة فی صورة دروس، وقد أشتمل کل درس على:
• أهداف الدرس.
• خطوات السیر فی الدرس، وتضمنت:
أولا: تقدیم المشکلة: وفیها یقدم المعلم مشکلة للفصل بأکمله أو لمجموعة صغیرة.
ثانیا: تفکیر التلامیذ فی الحل بشکل فردی: وفیها یعطی المعلم التلامیذ ٥ دقائق للعمل مع المشکلة فردیا.
ثالثا: مناقشة التلامیذ لتفکیرهم: یناقش التلامیذ طریقتهم فی التوصل إلى الحل. یتم ذلک من خلال مناقشة الفصل ککل، والمناقشة فی أزواج.
رابعا: التلخیص: فی هذه المرحلة یلخص المعلم الحقائق والمعارف الجدیدة التی تناولها الدرس.
ثالثا: إعداد أوراق عمل التلمیذ وفقا لاستراتیجیة الحدیث الریاضی:
تم إعداد أوراق عمل التلمیذ وفقا لاستراتیجیة الحدیث الریاضی لمحتوى وحدة الکسور لتلامیذ الصف الرابع الابتدائی (ملحق ٢)، حیث اشتمل کل درس نشاط تمهیدی، ونشاط تدریبی.
رابعا: إعداد اختبار المعرفة السابقة لموضوع الکسور:
قد مر بناء الاختبار بالخطوات التالیة:
أ- تحدید الهدف من الاختبار: هدف اختبار المعرفة السابقة لموضوع الکسور إلى قیاس معرفة التلامیذ السابقة لموضوع الکسور، وذلک بغرض اختیار عینة البحث.
ب - تحدید مفردات الاختبار: تضمن الاختبار الموضوعات التی تشملها وحدة الکسور المقررة على الصف الثالث الابتدائی. تکون الاختبار من ١٠ مشکلات مفتوحة النهایة: معنى الکسر وقراءته (٣ مفردات)، الکسور المتساویة (٣ مفردات)، المقارنة بین کسور متحدة المقامات (مفردتین)، جمع الکسور متحدة المقامات (مفردة)، طرح الکسور متحدة المقامات (مفردة). تم حساب عدد المفردات الخاصة بکل موضوع فی ضوء أهمیتها لموضوعات وحدة الکسور المقررة على الصف الرابع الابتدائی.
جـ- صدق الاختبار: للتأکد من صدق الاختبار، تم عرضه فی صورته الأولیة على مجموعة من أساتذة المناهج وطرق تدریس الریاضیات، وموجهی ومدرسی الریاضیات لإبداء آرائهم فی أسئلة الاختبار من حیث مدى صحة السؤال من الناحیة العلمیة واللغویة، ومدى مناسبة الأسئلة لمستوى تلامیذ الصف الرابع الابتدائی. قد تم إجراء التعدیلات فی ضوء أراء المحکمین، وأصبح الاختبار فی صورته النهائیة یتکون من ١٠ مشکلات (ملحق ٣).
د - تطبیق التجربة الاستطلاعیة للاختبار: تم تطبیق الاختبار على ٣٥ تلمیذ من تلامیذ الصف الرابع الابتدائی بمدرسة الجغیلی، وذلک بهدف:
- حساب زمن الاختبار: تم حساب زمن الاختبار برصد الزمن الذی استغرقه کل تلمیذ ثم حساب متوسط الزمن. زمن الاختبار ٣٠ دقیقة.
- حساب ثبات الاختبار: تم حساب ثبات الاختبار عن طریق معادلة الفا کرونباخ. ووجد أن معامل الثبات (٠.٨٧) وهی قیمة مقبولة لمعامل الثبات.
- حساب معاملات السهولة والصعوبة لمفردات الاختبار: تم حساب معاملات السهولة والصعوبة لمفردات الاختبار، وقد تراوحت بین (٠.٢٥، ٠.٨).
- طریقة تصحیح الاختبار: تم إعطاء درجتین لکل مفردة تکون إجابة التلمیذ علیها صحیحة، ودرجة واحدة لکل إجابة صحیحة جزئیا، صفر لکل مفردة متروکة أو أجاب علیها التلمیذ إجابة خاطئة. بلغت النهایة العظمى لدرجات الاختبار ٢٠ درجة.
خامسا: إعداد مهام المقابلات:
قد مر إعداد مهام المقابلات بالخطوات التالیة:
أ- تحدید الهدف من مهام المقابلات: هدفت المهام التی یتم استخدامها أثناء المقابلات مع التلامیذ موضع الدراسة إلى التعرف على نمو الفهم الریاضی لدى التلامیذ وتحلیل الدور الذی قد یلعبه الحدیث الریاضی فی هذا نمو.
ب- تحدید مهام المقابلات: شملت کل مقابلة على مهمتین مفتوحتی النهایة فی أحد موضوعات وحدة الکسور المقررة على تلامیذ الصف الرابع الابتدائی. وبذلک تضمنت مهام المقابلات مهمتین عن العدد الکسری، مهمتین عن الکسور المتساویة، مهمتین عن مقارنة الکسور مختلفة المقامات، مهمتین عن جمع الکسور مختلفة المقامات، مهمتین عن طرح الکسور مختلفة المقامات. تم إعداد مهام المقابلات بحیث یکون لها أکثر من طریق للحل، وتتطلب من التلامیذ تفسیر وتبریر إجراءاتهم وفهمهم فی شکل شفهی أو مکتوب (ملحق ٤).
جـ- صدق مهام المقابلات: تم عرض مهام المقابلات على مجموعة من أساتذة المناهج وطرق تدریس الریاضیات، وموجهی ومدرسی الریاضیات، لإبداء آرائهم من حیث مدى صحة المهمة من الناحیة العلمیة واللغویة، ومدى مناسبتها لمستوى تلامیذ الصف الرابع الابتدائی. وقد تم إجراء التعدیلات فی ضوء أراء المحکمین.
د- تطبیق التجربة الاستطلاعیة لمهام المقابلات: تم تطبیق مهام المقابلة على ٣٥ تلمیذاً من تلامیذ الصف الرابع الابتدائی، وذلک بهدف:
- حساب ثبات المهام: تم حساب ثبات الاختبار عن طریق معادلة الفا کرونباخ. والذی ووجد أنه یساوی (٠،٨).
- حساب معاملات السهولة والصعوبة للمهام: تم حساب معاملات السهولة والصعوبة، وقد تراوحت بین وقد تراوحت بین (٣.، ٠.٧٥).
إجراءات تجربة البحث:
أولا: تطبیق اختبار المعرفة السابقة لموضوع الکسور
تم تطبیق اختبار المعرفة السابقة لموضوع الکسور على کل تلامیذ الفصل موضع البحث لتحدید معرفتهم السابقة لموضوع الکسور
ثانیا: اختیار مجموعة البحث.
تم تطبیق استراتیجیة الحدیث الریاضی فی فصل من فصول الصف الرابع الابتدائی (٣٢ تلمیذ) بمدرسة الأمل الابتدائیة بمدینة الخارجة محافظة الوادی الجدید. تم اختیار ثمانیة تلامیذ من هؤلاء التلامیذ لیکونوا عینة البحث. تم اختیار هؤلاء التلامیذ الثمانیة باستخدام طریقة عینة الفروق القصوىMaximum Variation Sample (Patton, 2002) . ینتج عن هذا النمط من العینات: (١) تقدیم وصف عالی الجودة ومفصل لکل حالة، والتی تکون مفیدة لتوثیق التفرد، (٢) الوصول إلى أنماط مشترکة هامة بین الحالات وتشتق أهمیتها من انبثاقها من عدم التجانس، مما یزید من مصداقیة وثقة النتائج التی یتم التوصل إلیها (Patton, 2002). قامت الباحثة بتحدید ابعاد الاختلافات الرئیسیة المطلوبة بین المشارکین وهی اختلاف التلامیذ فی مستوى تحصیلهم للریاضیات واختلاف معرفتهم السابقة لموضوع الکسور، ثم إیجاد الحالات التی تختلف عن بعضها البعض فی هذه الابعاد قدر الإمکان. وبذلک تم اختیار عینة البحث (٨ تلامیذ) بناء على درجات التلامیذ فی اختبار المعرفة القبلیة للکسور، ومستوى تحصیلهم للریاضیات فی الفصل الدراسی الأول، وکذلک تم مراعاة وجه نظر مدرس الفصل عند اختیار المشارکین. تم اختیار ستة تلامیذ فقط من بین الثمانیة تلامیذ لأن اثنین من التلامیذ تغیبوا عن بعض حصص الریاضیات أثناء تطبیق استراتیجیة الحدیث الریاضی. جدول (١) یوضح خصائص العینة موضع البحث. تم إعطاء التلامیذ موضع البحث أسماء وهمیة.
جدول (١). خصائص العینة موضع البحث
الاسم درجة الاختبار القبلی درجة الاختبار التحصیلی فی الریاضیات فی الفصل الدراسی الاول
خلف ١٥ ١٠٠
محمد ١٢ ٩٠
تسنیم ٩ ٧٨
عمر ٨ ٦٥
عبد الرحمن ١١ ٨٧
خالد ٥ ٥٥
ملحوظة: النهایة العظمى للاختبار التحصیلی فی الریاضیات (١٠٠) درجة، النهایة العظمى للاختبار القبلی (٢٠) درجة.
ثالثا: التدریس:
- تم تدریس وحدة الکسور للفصل موضع البحث فی الفصل الدراسی الثانی من العام الدراسی ٢٠١٨/٢٠١٩ باستخدام استراتیجیة الحدیث الریاضی، بواقع ١٢ حصة.
- قام بالتدریس معلم الفصل وذلک بعد توضیح الهدف من البحث وکیفیة تطبیق استراتیجیة الحدیث الریاضی وتذویده بدلیل المعلم المعد لهذا الغرض. وقد حضرت الباحثة أثناء التطبیق.
رابعا: ملاحظة التلامیذ أثناء استخدامهم للحدیث الریاضی:
تعد الملاحظة أداة لجمع البیانات فی الأبحاث النوعیة. تساعد الملاحظة على الفهم العمیق للظاهرة موضع الدراسة حیث یتم ملاحظة السلوک الفعلی للمشارکین أثناء السیاقات الطبیعیة للظاهرة (McMillan, 2008) . تفید الملاحظة فی توفیر معلومات إضافیة حول الموضوع قید الدراسة(Yin, 2009) . الغرض من الملاحظة فی البحث الحالی هو تعزیز البیانات التی تم جمعها من المقابلات.
قامت الباحثة بملاحظة التلامیذ موضع البحث أثناء مشارکتهم فی الحدیث الریاضی خلال دروس الکسور فی الفصل وأثناء عملهم فی مهام الکسور فی أزواج أثناء المقابلات، وتدوین ملاحظات عن فهم التلامیذ الریاضی لموضوع الکسور.
خامسا: إجراء المقابلات مع التلامیذ موضع البحث:
تعتبر المقابلة أسلوبًا لجمع البیانات بین القائم بإجراء المقابلة وبین الأشخاص الذین تجری مقابلتهم وتتضمن استجوابًا شفهیًا للمشارکین، سواء بشکل فردی أو کمجموعة(McMillan, 2008) . هذه التقنیة غالبًا ما تکون المصدر الرئیسی لجمع البیانات فی الأبحاث النوعیة(Yin, 2009) . استخدم البحث الحالی المقابلات شبة المقننة القائمة على المهام کأداة أساسیة لجمع البیانات. المقابلات القائمة على المهام هی شکل معین من المقابلات التی یتحدث فیها التلمیذ أو مجموعة من التلامیذ أثناء حل مهمة ریاضیة أو مجموعة من المهام، یشمل "الحدیث" الذی یشارک فیه التلامیذ عادةً التفکیر بصوت عالٍ أثناء مشارکتهم فی إکمال المهام أو الرد على اسئلة الباحث (Maher & Sigley, 2014). یؤکد (Maher & Sigley, 2014) أن المقابلات القائمة على المهام تُستخدم لوصف استراتیجیات المتعلمین، أو بنیتهم المعرفیة، أو مهاراتهم، وذلک للنظر فی فعالیة التدریس، أو لفهم عملیات نمو الفهم بشکل أفضل، أو لبحث تطور المعارف الریاضیة لدى المتعلمین أو لاستکشاف سلوک حل المشکلات. وقد استخدمت المقابلات شبة المقننة القائمة على المهام فی عدد من بحوث تعلیم الریاضیات مثل (Gokalp, 2012; Gulkilik et al., 2015; Martin & Towers, 2015) .
قامت الباحثة بتقسیم التلامیذ الستة موضع البحث إلى ٣ أزواج متعاونة: (متوسط – ضعیف)، (متفوق - متوسط)، (متوسط - متوسط). تم مقابلة کل زوج على حدى خارج الفصل کل اسبوع بعد تدریس کل موضوع من موضوعات وحدة الکسور باستخدام استراتیجیة الحدیث الریاضی. أثناء المقابلات، أعطى کل زوج ورقة نشاط واحدة، وطُلب منهم التعاون فی حل المشکلات، والتعبیر عن أفکارهم بصوت عال، ومساعدة بعضهم البعض فی فهم ما یقومون به. تم إخبار التلامیذ بأن إجاباتهم لن یتم الحکم علیها بأنها صحیحة أو غیر صحیحة وأن الإجابات لن تؤثر على درجات المقرر الدراسی. وتم اخبارهم أیضًا بأنه لا توجد مدة محددة للإجابة على کل سؤال. لذلک، أجابوا على کل أسئلة المقابلة بحریة بدون توتر. تم طرح أسئلة المتابعةFollow-up questions وفقًا لإجابات التلامیذ مثل: "هل یمکنک شرح ذلک بالتفصیل؟" ، "لماذا فکرت بهذا الشکل؟" ، "هل یمکنک إعطاء مثال آخر على هذا الموقف؟" ، "کیف توصلت إلى هذه الفکرة؟ ". کان الغرض من أسئلة المتابعة هو فحص إجابات التلامیذ على الأسئلة لمعرفة سبب إجابتهم. قد تمت المقابلات فی مکتبة المدرسة أثناء حصص المجال الصناعی. تم إجراء ٦ مقابلات مع کل زوج من التلامیذ، کما تم تسجیل کل المقابلات صوتیا. تم نسخ التسجیل الصوتی للمقابلات کلمة بکلمة، وتحلیلها باستخدام نموذج بیری وکیرین وباستخدام سلوکیات الحدیث الریاضی.
سادسا: تدوین المسودات المیدانیة:
تعد المسودات المیدانیة ضروریة عند إجراء البحوث النوعیة، وهی عبارة عن سجل یسجل فیها الباحث کل ما لاحظه من خلال الاستماع والمراقبة والتفسیر أثناء عملیة جمع البیانات (Yin, 2009) . تتضمن المسودات المیدانیة تفسیرات الباحث وتأملاته حول ما لاحظه (لماذا یعتقد أن الأشیاء کانت بالطریقة التی ظهرت بها)، وأفکاره، وانطباعاته بهدف بناء الفهم (McMillan, 2008) . فی البحث الحالی، تم استخدام المذکرات المیدانیة لدعم البیانات التی تم جمعها من المقابلات. قامت الباحثة بتدوین ملاحظات تأملیة مباشرة عقب کل حصة وکذلک عقب کل مقابلة مع التلامیذ. اشتملت المذکرات المیدانیة على ملاحظات الباحثة حول مشارکة التلامیذ المشارکین وفهمهم وافکارهم، وکذلک أفکار الباحثة وانطباعاتها وتأملاتها وتفسیرها لما لاحظته.
سابعا: فحص أوراق نشاط التلامیذ
أثناء المقابلات تم إعطاء کل زوج من التلامیذ ورقة نشاط تتضمن مهام الکسور وطُلب منهم التعاون فی حل المهام. تم جمع أوراق النشاط فی نهایة کل مقابلة وفحصها من أجل تحلیل مستوى فهم ازواج التلامیذ للکسور.
الصدق الداخلی: Internal validity
وفقًا لـ (Creswell, 2014) ، "یعنی الصدق فی البحوث النوعیة أن الباحث یتحقق من دقة النتائج باستخدام إجراءات معینة" (ص ٢٠١). یعتمد الصدق على تحدید ما إذا کانت النتائج التی توصل إلیها الباحث تعتبر صحیحة من قبل المشارکین، والباحث، والقارئ. بمعنى آخر، یتعلق الصدق بمسألة کیفیة تطابق نتائج الدراسة مع الواقع(Creswell, 2014) .
فی البحث الحالی، تم القیام بما یلی لضمان صدق النتائج (Creswell, 2014):
- تم جمع البیانات بطرق متعددة. تم جمع البیانات من خلال المقابلات مع التلامیذ موضع البحث، وأوراق نشاط التلامیذ، والملاحظة، والمسودات المیدانیة.
- تم عرض ومناقشة تفسیرات واستنتاجات الباحثة مع التلامیذ موضع البحث من خلال استخدام مجموعة نقاش مرکزة من التلامیذ الستة وذلک أثناء قیام الباحثة بالتحلیل لإتاحة الفرصة للتلامیذ بتوضیح قصدهم والتحقق من صحة تفکیر الباحثة وتقدیم معلومات إضافیة إذا لزم الأمر.
الصدق الخارجی: External validity
یتعلق الصدق الخارجی بتعمیم نتائج البحث(Merriam, 1998) . لضمان الصدق الخارجی، قامت الباحثة بتقدیم وصف تفصیلی لإجراءات البحث والنتائج لیتمکن القارئ من تقییم قابلیة تطبیق النتائج ویحدد ما إذا کانت تتناسب مع وضعه وحالته.
الثبات: Reliability
یشیر الثبات فی البحوث النوعیة إلى "مدى إمکانیة تکرار النتائج (Yin, 2009). بمعنى آخر، إذا اتبع باحث لاحق نفس الإجراءات کما وصفها باحث سابق وأجرى نفس دراسة الحالة مرة أخرى، فیجب أن یتوصل الباحث اللاحق إلى نفس النتائج والاستنتاجات (Yin, 2009) . مع الأخذ فی الاعتبار أن الباحثین النوعیین، بشکل عام، لا ینظرون إلى السلوک البشری باعتباره ثابتًا، ولا یعملون على فکرة أنه لا یوجد سوى حقیقة واحدة یمکن تکرارها، إلا أنه من المستحسن أن یتخذ الباحثون النوعیون خطوات نحو زیادة ثبات عملهم (Merriam, 1998). لتحقیق ذلک، یوصی (Yin, 2009) الباحثین بتوثیق أکبر عدد ممکن من الخطوات الإجرائیة التی اتبعوها فی دراستهم للحالة وذلک من خلال استخدام بروتوکول لدراسة الحالة والاحتفاظ بقاعدة بیانات لدراسة الحالة.
فی البحث الحالی، تم القیام بما یلی لضمان صدق النتائج (Yin, 2009) :
- تم إنشاء بروتوکول لدراسة الحالة هدف إلى تحدید الإجراءات المیدانیة التفصیلیة لإجراء البحث (ملحق ٥). تضمن البروتوکول: هدف البحث، أسئلة البحث، خطوات البحث وإجراءاته، کیفیة اختیار عینة البحث، أدوات وخطوات جمع البیانات.
- تم الاحتفاظ بقاعدة بیانات لدراسة الحالة شملت المقابلات المکتوبة. تعمل قاعدة بیانات دراسة الحالة کمصدر إثبات للأشخاص الذین یرغبون تکرار هذا البحث.
تحلیل البیانات:
مر تحلیل البیانات بالخطوات التالیة:
- تحدید سلوکیات التلامیذ المتوقعة لکل درس من دروس الکسور وذلک لکل مستوى من مستویات الفهم بما یتوافق مع نظریة بیری وکیرین للفهم (ملحق ٦). تم استنتاج هذه السلوکیات وتعدیلها من بعض دراسات بیری وکیرین حول الکسور (Pirie & Kieren, 1994; Pirie & Kieren, 1992; Pirie & Martin, 2000)، وبعض الدراسات التی طبقت نموذج بیری وکیرین کاطار نظری لدراستهم مثل (Gulkilik et al., 2015; Duzenli-Gokalp & Sharma, 2010; Martin & Towers, 2015).
- نسخ تسجیلات المقابلات حیث تم کتابة الحدیث الذی دار بین ازواج التلامیذ کلمة بکلمة (ملحق ٧).
- قراءة المقابلات المکتوبة عدة مرات بهدف البحث عن کلمات وجمل تتکرر فی أقوال التلامیذ بشکل مستمر وتدل على حدوث أحد مستویات الفهم أو تدل على حدوث أحد سلوکیات الحدیث الریاضی.
- استخدام الترمیز Codes لسلوکیات التلامیذ المرتبطة بموضوع الکسور وفقا لمستویات الفهم لنموذج بیری وکیرین وأیضًا وفقًا لسلوکیات الحدیث الریاضی (Hufferd-Ackles et al., 2004) (ملحق ٧). على سبیل المثال، فی الدرس الأول، فی مجموعة محمد وتسنیم، عندما عبر محمد عن الجزء الرمادی من الشکل على أنه نصف، تم تطویر الترمیز (معرفة بدائیة). وعندما استفسرت تسنیم "کیف عرفت؟"، تم تطویر الترمیز (الاستفسار عن أفکار الآخرین). وعندما وضح محمد لتسنیم کیف عرف أن الجزء الرمادی عبارة عن نصف، تم تطویر الترمیز (شرح وتفسیر التفکیر).
- تم قراءة الترمیزات عدة مرات حتى تم التوصل إلى أنماط Patterns توضح العلاقة بین مستویات النمو لموضوع الکسور وسلوکیات الحدیث الریاضی. على سبیل المثال، فی المثال السابق لمحمد وتسنیم، تم تطویر النمط (الاستفسار أدى إلى شرح وتفسیر التلمیذ لتفکیره).
- تم تجمیع الأنماط المتشابهة والمتقاربة بین أزواج التلامیذ فی موضوعات رئیسة Themes. وبذلک تم تطویر أربعة موضوعات رئیسة: الاستفسار، شرح وتفسیر التفکیر، التبریر، تحمل المسئولیة.
- تم استخدام مصادر البیانات الأخرى مثل المذکرات المیدانیة والملاحظات الصفیة للتحقق من صحة البیانات التی تم جمعها من خلال أداة المقابلة.
نتائج الدراسة وتفسیرها:
ساعد الحدیث الریاضی بین التلامیذ على الانتقال من مستوى المعرفة البدائیة إلى مستوى إضفاء الطابع الرسمی فی موضوع الکسور. کذلک استطاع التلمیذ ذو التحصیل الأکادیمی المنخفض الوصول إلى مستوى إضفاء الطابع الرسمی وفقا لنموذج بیری وکیرین. کشفت نتائج البحث عن أربعة سلوکیات أساسیة للحدیث الریاضی والتی کان لها دورا فی نمو فهم التلامیذ الریاضی لموضوع الکسور کما أوضحه التحلیل باستخدام نموذج بیری وکیرین. هذه السلوکیات هی: الاستفسار، شرح وتفسیر التفکیر، تبریر التفکیر، تحمل المسئولیة.
الاستفسار:
ساعد استفسار التلامیذ عن أفکار بعضهم البعض أثناء حلهم لأنشطة الکسور على نمو فهم التلامیذ لموضوع الکسور من مستوى المعرفة البدائیة إلى مستوى إضفاء الطابع الرسمی. تتفق هذه النتیجة مع دراسة (Warner & Schorr, 2004) التی وجدت أن الأسئلة من تلمیذ إلى تلمیذ لعبت دورًا رئیسیًا فی نمو الفهم الریاضی من المعرفة البدائیة إلى إضفاء الطابع الرسمی لدى التلامیذ موضع الدراسة. تفسر الباحثة الأثر الایجابی للاستفسار على نمو الفهم الریاضی لدى التلامیذ بأن استفسار التلامیذ عن تفکیر بعضهم البعض ساعد على تبریر التلامیذ لتفکیرهم ومن ثم الوصول إلى مستوى ملاحظة الصفات. على سبیل المثال، فی درس العدد الکسری، عند إعطاء مجموعة محمد (متوسط) وتسنیم (متوسط) مهمة تتطلب التعبیر عن الجزء الملون من الشکل، دار بینهما الحدیث التالی:

محمد: الجزء الملون ٣ (امتلاک الصورة).
تسنیم: کیف عرفت؟ (الاستفسار عن أفکار الآخرین)
محمد: لان هناک ٣ کعکات صحیحة والکعکة الرابعة ملون فیها ٦ أجزاء من ٨ أجزاء، یعنی (ملاحظة الصفات) (تبریر)
تسنیم: وممکن أیضا ٣ (امتلاک الصورة).
محمد: کیف حصلت على ؟ (الاستفسار عن أفکار الآخرین)
تسنیم: هی فی نفس الوقت . (ملاحظة الصفات)

تسنیم: کأنک مقسم الکعکة إلى ٤ أجزاء متساویة، الجزء الواحد عبارة عن ربع، وهناک ٣ أجزاء، کل منها عبارة عن ربع (تبریر) (ملاحظة الصفات)
فی المثال السابق، بدأ محمد وتسنیم بمستوى امتلاک الصورة (خاصیة لا حاجة إلى وجود حدود) فهما یعرفان کیفیة تحدید العدد الکسری فی الشکل المعطى. استفسار تسنیم ومحمد عن تفکیر بعضهم البعض شجع کل منهما على تبریر تفکیره مما ساعدهما على فحص الصور العقلیة التی قاما ببنائها وتوصلا إلى خصائص محددة للکسر الذی مثله (ملاحظة الصفات). کذلک شرح محمد وتسنیم لحلهما ساعد کل منهما على التعرف على أفکار جدیدة وطرق تفکیر مختلفة.
کذلک استفسار التلامیذ عن تفکیر بعضهم البعض ساعد على معرفة ما یعرفه التلامیذ وکیف یفکرون فی المفاهیم الریاضیة مما ساعد على الکشف عن المفاهیم الخاطئة لدیهم ومن ثم تعدیلها. على سبیل المثال، فی درس معنى الکسر، عند إعطاء مجموعة عبد الرحمن (متوسط) وخالد (ضعیف) مهمة تتطلب التعبیر عن الجزء الملون من الشکل

دار الحدیث التالی بینهما:
خالد: الجزء الأبیض ربع
عبد الرحمن: کیف عرفت؟ (الاستفسار عن أفکار الاخرین)
خالد: واضح من الرسم أن الجزء الابیض ربع لأنه صغیر (معرفة بدائیة) ممکن نقسم الشکل ربع، ربع، ربع، ربع، ربع، ربع، ربع، ربع (تکوین الصورة)

عبد الرحمن: یعنی أنت قصدک کل جزء فی الشکل عبارة عن ربع؟ (الاستفسار عن أفکار الاخرین)
خالد: ایوة. کل جزء ربع... لأنه صغیر. (تکوین الصورة) (الکشف عن المفاهیم الخاطئة)
عبد الرحمن: لا مش مضبوط! الکسر عبارة عن رقمین، رقم فی البسط وهو عبارة عن عدد الاجزاء الملونة، ورقم فی المقام عبارة عن عدد کل الأجزاء. (إضفاء الطابع الرسمی) (نقد الفکرة المطروحة)
خالد: آة.. یعنی الجزء الأسود عبارة عن (تکوین الصورة)
عبد الرحمن: لا! نکتب فوق (یقصد البسط) عدد الأجزاء الملونة یعنی ٣، ونکتب تحت (یقصد المقام) عدد الأجزاء کلها یعنی ٨، فتکون (شرح وتوضیح التفکیر) (إضفاء الطابع الرسمی)
خالد: آه... طیب .. الجزء الرمادی ( امتلاک الصورة ) ( البناء على أفکار الاخرین )
(تعدیل التفکیر) لان عدد الأجزاء الرمادی ٤، وعدد کل الأجزاء ٨ (تبریر التفکیر) (ملاحظة الصفات)
عندما عبر خالد عن الجزء المظلل من الشکل على أنه ربع، سأل عبد الرحمن خالد کیف توصل إلى هذا الحل، وهنا اتضح مفاهیم خالد الخاطئة عن الکسور، فقد تصور خالد أن أی جزء صغیر من کل هو عبارة عن ربع بغض النظر عن عدد الأجزاء المقسم إلیها هذا الکل. تتفق هذه النتیجة مع ما أکده (Hufferd-Ackles et al., 2004; Warner & Schorr, 2004) أنه عندما یحظى التلامیذ بفرصة للاستفسار عن أفکار رفاقهم الریاضیة، یکون لکل من یطرح الأسئلة ومن علیه تقدیم الإجابة الفرصة لتجاوز المفاهیم الأولیة حول الأفکار الریاضیة المطروحة، فبینما یفکر التلامیذ فی تفکیرهم رداً على الأسئلة التی یطرحها أقرانهم، فإن لدیهم الفرصة لمراجعة وتنقیح وتوسیع طرق تفکیرهم. أثناء قیامهم بذلک، تصبح تصوراتهم وتمثیلاتهم السابقة أکثر دقة وربطا.
شرح وتفسیر التفکیر:
ساعد شرح التلامیذ وتفسیرهم لتفکیرهم الریاضی على نمو فهمهم الریاضی لموضوع الکسور والوصول إلى مستوى إضفاء الطابع الرسمی. أوضح (Warner, 2008) أن قدرة التلامیذ على شرح وتفسیر أفکارهم هو معیار للفهم. تفسر الباحثة الأثر الایجابی لشرح وتفسیر التلامیذ لتفکیرهم على نمو الفهم الریاضی لدیهم بأن شرح التلامیذ لأفکارهم للآخرین شجع التلامیذ أنفسهم على التفکیر فی حلولهم وإعادة النظر فی أفکارهم ومن ثم إدراک المفاهیم الخاطئة لدیهم أو عدم اکتمال أفکارهم مما أدى زیادة فهمهم الریاضی. على سبیل المثال، فی درس معنى الکسر عند إعطاء مجموعة تسنیم (متوسط) ومحمد (متوسط) مهمة تتطلب التعبیر عن الجزء الملون من الشکل

دار الحدیث التالی بینهما:
محمد: الجزء الرمادی (معرفة بدائیة)
تسنیم: کیف عرفت؟ (الاستفسار عن أفکار الاخرین)
محمد: کما لو کان الشکل یتکون من قطعتین متساویتین أحدهما لونها رمادی، یبقى الجزء الرمادی نصف. (شرح وتوضیح التفکیر)
تسنیم: الجزء الأبیض
محمد: لیة؟! (الاستفسار عن أفکار الاخرین)
تسنیم: الشکل هنا مقسم إلى ثلاثة أجزاء والجزء الأبیض واحد منها، یبقى الجزء الأبیض ثلث. (تکوین الصورة)
محمد وتسنیم: صمت مع التحدیق فی الرسم.
تسنیم: ... لا لا...لا مش مضبوط! علشان نعبر عن الکسر لازم تکون کل الأجزاء متساویة. (المعرفة البدائیة) (تعدیل التفکیر)

تسنیم: خلینا نقسم الشکل (تکوین الصورة)
شرح تسنیم لأفکارها لمحمد شجعها على التفکیر فی حلولها وإعادة النظر فی أفکارها ومن ثم إدراک المفاهیم الخاطئة لدیها. فنجد تسنیم تقول: " الشکل هنا مقسم إلى ثلاثة أجزاء والجزء الأبیض واحد منها، یبقى الجزء الأبیض ثلث"، ثم بعد ذلک تکتشف خطأ تفکیرها: "ا لا...لا مش مضبوط! علشان نعبر عن الکسر لازم تکون کل الأجزاء متساویة". تتفق هذه النتیجة مع ما أکده(Warner, 2008) أن قدرة التلامیذ على التعبیر عن أفکارهم وشرحها للآخرین یمکن أن یشکل آلیة مهمة یمکن من خلالها تعدیل معانیهم الریاضیة وبالتالی زیادة الفهم. ومن ناحیة أخرى، شرح التلامیذ لأفکارهم للآخرین أدى إلى تعرف التلامیذ الآخرین على أفکار جدیدة وطرق تفکیر مختلفة. کان هذا واضحا فی بعض الحالات التی کان فیها للتلامیذ طرق مختلفة لنفس النشاط التعلیمی. على سبیل المثال، فی درس مقارنة الکسور فی مجموعة عمر وخلف، توصل کل منهما إلى طریقة مختلفة لمقارنة الکسور، وعند العمل مع الجزء الثانی من ورقة النشاط استخدم خلف طریقة عمر (المقص) للمقارنة بین الکسور.
شرح وتفسیر التلامیذ لتفکیرهم لرفاقهم ساعد على وجه الخصوص التلمیذ ذا المستوى الأکادیمی المنخفض (خالد) على الفهم والبناء على أفکار زمیله والوصول إلى الحل. تتفق هذه النتیجة مع الدراسات السابقة (بنی خالد، ٢٠١٦؛ سیف، ٢٠٠٤) التی توصلت إلى أن تعلیم الاقران له أثر إیجابی على تنمیة مهارات الریاضیات لدى التلامیذ ذوی صعوبات التعلم. کذلک قیام بعض التلامیذ بالطی العکسی إلى مستویات الفهم الأقل تقدما ساعد التلامیذ فی شرح تفکیرهم وساعد التلامیذ الاخرین على فهم تفکیر رفاقهم. على سبیل المثال، فی درس مقارنة الکسور، عند إعطاء مجموعة عبد الرحمن (متوسط) وخالد (ضعیف) المهمة " أی من الکسور الاتیة أکبر؟ ولماذا؟ (استخدم الرسومات لتوضیح تفکیرک)"، دار بینهما الحدیث التالی:
عبد الرحمن: أکبر من (امتلاک الصورة) لأن کل ما المقام یصغر یکون الکسر أکبر. (إضفاء الطابع الرسمی)
خالد: (یحدق فی الورقة فی صمت)
عبد الرحمن: خلینا نرسمها. هل تعرف ترسم ؟ (الطی العکسی لمستوى المعرفة البدائیة)
خالد:
(تکوین الصورة)
عبد الرحمن: ارسم کمان بس تکون فی نفس حجم الشکل السابق. (شرح وتوضیح)

خالد (تکوین الصورة )
عبد الرحمن: من الرسم مین متلون أکثر؟
خالد: الشکل الاول ... أکبر (امتلاک الصورة)
عبد الرحمن: یبقى لما یکون البسط متساوی، المقام الاصغر یکون الکسر أکبر.
الباحثة: خالد، هل تستطیع ان تحدد ایهما أکبر: ،
خالد: أکبر (امتلاک الصورة) .... لأن ٥ اصغر من ٧ (ملاحظة الصفات)
بدأ عبد الرحمن بمستوى إضفاء الطابع الرسمی فهو یعرف جیدا طریقة عامة للمقارنة بین الکسور. لکن لمساعدة خالد، قام عبد الرحمن بالطی العکسی إلى مستوى المعرفة البدائیة لمساعدة خالد على البناء على معرفته السابقة بالکسور وکیفیة تمثیل الکسر. شرح وتوضیح عبد الرحمن ساعد خالد على إدراک أنه عند مقارنة الکسور یجب أن تکون الکسور من نفس الکل، ومن ثم بنى خالد على تفکیر عبد الرحمن وتوصل إلى الکسر الأکبر (امتلاک الصورة)، کما تمکن من فحص الصور العقلیة التی قام ببنائها والتوصل إلى طریقة للمقارنة بین الکسور (ملاحظة الصفات). من ناحیة أخری، أثناء شرح وتفسیر التلامیذ لتفکیرهم، کان من الواضح احترام وتقدیر التلامیذ لتفکیر بعضهم البعض. على سبیل المثال، فی درس معنى الکسر (مجموعة خلف وعمر)، رغم أن خلف أکثر تفوقا فی الریاضیات من عمر، إلا أنه عندما توصل عمر إلى طریقة للحل مختلفة عن طریقة عمر شجعه خلف قائلا "مضبوط کمل". هذا وفقا لـ (Martin & Towers, 2015) یظهر أن أفعال وأقوال المتعلمین تتداخل بشکل بناء لبناء فهم مجموعة من المتعلمین. وبالتالی فإن هذا یخلق بیئة تعلیمیة لا یتم فیها مشارکة الأفکار فحسب بل أیضا احترامها.
تبریر التفکیر:
ساعد تبریر التلامیذ لتفکیرهم على نمو فهم التلامیذ لموضوع الکسور والوصول إلى مستوى إضفاء الطابع الرسمی. تتفق هذه النتیجة مع الدراسات السابقة (Staples, Bartlo, Thanheiser, 2012; Thanheiser et al., 2010) التی وجدت أن تبریر التلامیذ لتفکیرهم أدى إلى فهم أعمق للریاضیات. فی البحث الحالی، عندما اختلف تفکیر أحد التلمیذین فی المجموعة عن تفکیر رفیقه کان لزاما على کل منهما تبریر طریقته فی الحل لأقناع رفیقه بصلاحیة تفکیره. کما أن أسئلة رفیق المجموعة مثل "کیف عرفت"، "انا لا افهم قصدک" شجعت التلامیذ على تبریر حلهم. تفسر الباحثة الأثر الایجابی لتبریر التلامیذ لتفکیرهم على نمو الفهم الریاضی لدیهم بأن قیام التلامیذ بتبریر حلهم شجعهم على فحص الصور العقلیة التی قاموا ببنائها والوصول إلى مستوى ملاحظة الصفات. کذلک محاولة التلامیذ لتبریر حلهم شجعهم على التعبیر عن طریقتهم فی الحل باستخدام المصطلحات الریاضیة الرسمیة حتى یتمکن رفاقهم من فهمهم مما ساعدهم على الوصول إلى مستوى إضفاء الطابع الرسمی. یتفق ذلک مع ما أکده(Staples, Bartlo, Thanheiser, 2012) أن تبریر التلامیذ لتفکیرهم یؤدی إلى فهم عمیق للریاضیات لأنه یتطلب من التلامیذ أن یتصارعوا مع الأفکار الأساسیة، ویعملوا علاقات، ویکتسبوا رؤى جدیدة وذلک من خلال سماع شرح التلامیذ الآخرین أو من خلال توضیح تفکیرهم أثناء محاولتهم للتعبیر عن أفکارهم. کذلک دفع التبریر التلامیذ إلى ما هو أبعد من تنفیذ الاجراءات إلى الفهم العمیق، فمن أجل تبریر تفکیرهم، کان علیهم أن یبرروا لیس فقط "کیف" توصلوا إلى الحل، بل أیضا "لماذا" استخدموا هذه الطریقة فی التفکیر (Thanheiser et al., 2010).
رغم أن استماع التلامیذ لتبریر رفاقهم شجعهم على تعدیل تفکیرهم والبناء على أفکار رفاقهم، إلا أنه فی بعض الحالات قدم بعض التلامیذ تبریر خاطئ لفهم خاطئ وقام رفاقهم بالبناء على تفکیرهم الخاطئ. على سبیل المثال، فی درس جمع الکسور، عند إعطاء مجموعة عبد الرحمن (متوسط) وخالد (ضعیف) مهمة تتطلب جمع کسرین، دار الحدیث التالی بینهما:
عبد الرحمن: دی عملیة جمع ... هنجمع + (تکوین الصورة)
خالد: صمت
عبد الرحمن: هل تتذکر کلام الأستاذ: "لما نجمع، نبحث عن مقام مشترک، ثم نضرب علشان نوجد البسط ثم نجمع البسوط". المقام هنا مختلف یعنی احنا محتاجین مقام مشترک. (الطی العکسی إلى مستوى المعرفة البدائیة) (شرح وتوضیح)
خالد: صمت
عبد الرحمن: هل ممکن نوحد المقام على ١٢؟ (استفسار)
خالد: ایوه لان ١٢ ضعف ٦ (ملاحظة الصفات)
عبد الرحمن: تمام. کمل.
خالد: + (تکوین الصورة) (البناء على أفکار الاخرین) (یحدق فی الورقة)
خالد: + (تکوین الصورة)
عبد الرحمن: أذای؟ (الاستفسار عن أفکار الأخرین)
خالد: وحدت المقام على ١٢، وکتبت فی المقام ١٢، وضربت ٥١٢=٦٠، ٦١١=٦٦ (تبریر)
عبد الرحمن: طیب ماشی. + = (البناء على افکار الاخرین الخاطئة)
أثناء محاولاته لتکوین الصورة، قام خالد بمحاولة خاطئة لجمع الکسور وقدم له تبریر خاطئ الامر الذی أجازه عبد الرحمن وبنى علیه حله التالی. وهنا کان لابد من تدخل الباحثة لتصحیح المفاهیم الخاطئة ووضع الحدیث فی المسار الصحیح وذلک من خلال استخدام أسئلة ساعدت عبد الرحمن وخالد على الطی العکسی إلى مستوى المعرفة البدائیة الخاصة بالکسور المتساویة، ومن ثم عدل عبد الرحمن وخالد تفکیرهما وتوصلا إلى جمع الکسرین.
مسئولیة التعلم:
شجع الحدیث الریاضی التلامیذ على تحمل مسئولیة تعلمهم وتعلم رفاقهم. تتفق هذه النتیجة مع ما توصل إلیه (Hufferd-Ackles et al., 2004) من أن الحدیث الریاضی لا یؤدی فقط إلى تحمل التلامیذ مسؤولیة تعلمهم ولکن أیضا مسئولیة تعلم رفاقهم. ساعد تحمل التلامیذ لمسئولیة تعلمهم وتعلم رفاقهم على نمو الفهم الریاضی لدیهم. یتفق هذا مع ما أکده(Blumberg, 2009) أن توفیر الفرصة للتلامیذ لتحمل مسئولیة تعلمهم لا یؤثر فقط على مقدار ما یتعلمه التلامیذ فی الفصل فحسب، بل یؤثر أیضًا على مدى جودة تعلّمهم. فی البحث الحالی، مسئولیة التلامیذ عن تعلمهم کانت واضحة فی رغبتهم فی طرح الأسئلة على رفاقهم من أجل تحقیق فهم أفضل، وفی حرصهم على الطی العکسی والعودة إلى طرق فهم أقل تطورا من أجل توسیع معرفتهم، وفی حرصهم على تبریر تفکیرهم لإثبات صلاحیة تفکیرهم، وفی حرصهم على الاستماع إلى توضیحات وتبریرات رفاقهم للوصول إلى فهم أفضل. من ناحیة أخرى، تحمل التلامیذ مسئولیة تعلم رفاقهم من خلال حرصهم على فهم رفاقهم للمهمة المطروحة ومساعدتهم فی التوصل للحل. فتارة نرى التلامیذ یساعدون رفاقهم على إعادة التفکیر أو تعدیل أفکارهم من خلال استخدام التمثیلات اللفظیة. على سبیل المثال، فی درس طرح الکسور، عند إعطاء مجموعة محمد (متوسط) وتسنیم (متوسط) مهمة تتطلب طرح الکسور، استخدمت تسنیم التمثیلات اللفظیة لتساعد محمد على إدراک خطأه ومساعدته على المضی قدمًا فی حل المشکلة:
محمد: نجمع ٣، ٢ والناتج نطرحه من ١٠ (المعرفة البدائیة)
تسنیم: ٣+ ٢ هنوحد المقام على ٨ لان ٨ ضعف ٤
+ (تکوین الصورة)
محمد: + = ٥ (امتلاک الصورة)
تسنیم: وبعدین عایزین نطرح ١٠- ٥
محمد: ١٠- ٥ = ٥ (تکوین الصورة)
تسنیم: عملت ایه؟ (الاستفسار عن أفکار الآخرین)
محمد: طرحت الاعداد الصحیحة مع بعض ١٠-٥=٥ ونزلت الکسر ذی ما هو. (توضیح التفکیر)
تسنیم: اذای! معی ١٠ جنیة صرفت منها ٥ یبقى الباقی نفس المبلغ ٥ ! کأنی لم اصرف أی شیء! هل ینفع أن یکون معی ٢ بیتزا أکلت منها ١ فیبقى الباقی منها ١ بردوا! (نقد أفکار الآخرین)
محمد: طیب ممکن نرسمها. نرسم ١٠ دوائر ونحذف منها ٥ (تکوین الصورة)
محمد مع تسنیم: (تکوین الصورة) (البناء على أفکار الآخرین)

محمد: الباقی ٤ (امتلاک الصورة)
وتارة أخرى نجد التلامیذ یتصرفون کمعلمین یشرحون ویوضحون عندما لا یفهم رفاقهم. تجلى ذلک فی درس الکسور المتساویة، عند إعطاء مجموعة عبد الرحمن (متوسط) وخالد (ضعیف) المهمة "أوجد کسور مساویة للکسر "، ، دار بینهما الحدیث التالی:
خالد: یعنی ایه المطلوب؟! (طلب توضیح)
عبد الرحمن: عایزین نوجد کسور مساویة للکسر ثلث.
خالد: یعنی أیه کسور متساویة؟ (طلب توضیح)
عبد الرحمن: یعنی کسور لها نفس المقدار، یعنی مثلا ، کسور متساویة ... لها نفس الکمیة (إضفاء الطابع الرسمی) (شرح وتوضیح)
عبد الرحمن:


عبد الرحمن: هل تعرف تکتب الکسر هنا (یقصد الشکل الأول)، والکسر هنا (یقصد الشکل الثانی) (الطی العکسی إلى مستوى المعرفة البدائیة)
خالد: ، (تکوین الصورة)
عبد الرحمن: من الرسم مین فیهم أکبر؟.... مین فیهم متلون أکثر؟ (شرح وتوضیح)
خالد: متساویین. (تکوین الصورة)
عبد الرحمن: دول اسمهم کسور متساویة.... متلونین بنفس المقدار (شرح وتوضیح)
عبد الرحمن: ممکن نحصل على الکسور المتساویة بضرب البسط والمقام فی نفس الرقم، یعنی مثلا = (إضفاء الطابع الرسمی) (شرح وتوضیح التفکیر)
خالد: یعنی ممکن نضرب فی ٣؟ (تکوین الصورة) (البناء على أفکار الاخرین)
عبد الرحمن: ایوة. ممکن نضرب فی أی رقم، بس لازم نضرب فوق وتحت فی نفس الرقم. (إضفاء الطابع الرسمی) (شرح وتوضیح التفکیر)
خالد: = (امتلاک الصورة) (البناء على أفکار الاخرین)
فی المثال السابق، تحمل عبد الرحمن مسئولیة تدریس خالد کیفیة ایجاد الکسور خطوة بخطوة. وبالتالی، فإن التلامیذ لم یهتمون فقط بنمو فهمهم ولکن أیضًا بنمو فهم رفاقهم أیضًا.

توصیات البحث:
فی ضوء النتائج التی توصل إلیها البحث، توصی الباحثة بما یلی:
• تطویر مقررات الریاضیات من خلال تنظیمها فی ضوء مراحل نمو الفهم الریاضی وفقا لنموذج بیری وکیرین.
• إتاحة الفرص أمام التلامیذ للمشارکة فی الحدیث الریاضی مع أقرانهم ومعلمیهم.
• تشجیع معلمی الریاضیات على إتاحة الفرصة لتلامیذهم لطرح الأسئلة على بعضهم البعض لما له من دور فی نمو الفهم الریاضی لدى التلامیذ.
• خلق بیئة تعلیمیة تحفز التلامیذ على شرح وتفسیر تفکیرهم والذی من شأنه تسهیل نمو فهم التلامیذ الریاضی.
• تضمین التبریر فی فصول الریاضیات.
• تدریس تحمل المسئولیة ودمجها فی المناهج التعلیمیة منذ وقت مبکر من أجل تحقیق تعلیم وتعلم فعال.
البحوث المقترحة:
فی ضوء النتائج التی توصل إلیها البحث، تقترح الباحثة إجراء البحوث التالیة:
• دراسة أثر استراتیجیة الحدیث الریاضی على متغیرات آخری مثل التفکیر الإبداعی، والتفکیر الناقد، ومهارات التفکیر الاستراتیجی.
• دراسة دور الطی العکسی فی تعلیم وتعلم الریاضیات.
• دراسة الممارسات التدریسیة لمعلم الریاضیات التی من شأنها تشجع التلامیذ على تبریر تفکیرهم فی فصول الریاضیات،
• تصمیم وحدات ریاضیة فی ضوء مراحل نمو الفهم وفقا لنموذج بیری وکیرین لصفوف ومراحل متنوعة ودراسة أثرها على تنمیة البراعة الریاضیة.
• تحلیل فهم التلامیذ الریاضی لموضوعات ریاضیة أخرى باستخدام نموذج بیری وکیرین.

المراجع:
أولا المراجع العربیة:
أبو عره، رجاء لطفی أحمد، (٢٠١٤). مراحل نمو الفهم الهندسی فی موضوع المثلثات باستخدام الجیوجبرا لدى طلاب الصف الثامن الأساسی (دراسة نوعیة). رسالة ماجستیر. جامعة النجاح الوطنیة فی نابلس، فلسطین.
بشای، زکریا جابر حناوی (٢٠١٦). أثر استخدام استراتیجیة محادثات الأعداد فی تدریس وحدة
مقترحة فی الحساب الذهنی على تنمیة مهارات الطلاقة الحسابیة لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة. مجلة تربویات الریاضیات، ١٩(١٣)، ٢٢٢-٢٦٢.
بنی خالد، حمزة عاید (٢٠١٦). فاعلیة برنامج معتمد على تعلیم الأقران فی تنمیة مهارات الریاضیات لدى عینة ذوی صعوبات التعلم. مجلة المعهد الدولی للدراسة والبحث، ٢(٢)، (١-١٧).
حسین، عبد الله أحمد (٢٠١٤). فاعلیة استخدام الألعاب التعلیمیة فی تعلیم حل المسائل الحسابیة الکلامیة المرتبطة بالأشکال الهندسیة والکسور لطالبات الصف الرابع من ذوات صعوبات تعلم الحساب. مجلة البحث العلمی فی التربیة، ٣(١٥)، ٦٤١-٦٥٤.
الحواس، محمد أحمد (٢٠١٦). أثر استخدام الوسائل التعلیمیة فی تدریس الکسور والعملیات علیها على تحصیل طلاب الصف الخامس فی محافظة القریات فی الریاضیات وعلى اتجاهاتهم نحوها. المجلة التربویة الدولیة المتخصصة، ٥(٣)، ٤٤٧-٤٦٧.
الرویلی، ماجد ونیس رغیان والشیاب، معاز (٢٠١٧). أثر استراتیجیة النماذج فی تنمیة الفهم المفاهیمی للکسور المتکافئة لطلبة الصف الرابع الابتدائی فی محافظة طریف. رسالة ماجستیر، جامعة الیرموک.
الزهرانی، عبد العزیز بن عثمان معیض (٢٠١٨). فعالیة برنامج تعلیمی قائم على الوسائل المتعددة فی علاج صعوبات العملیات على الکسور لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة. دراسات تربویة ونفسیة، جامعة الزقازیق - کلیة التربیة، ١٠٠، ١-٤٥.
سیف، خیریة رمضان (٢٠٠٤). فعالیة استراتیجیة تدریس الأقران فی تنمیة مهارات الطرح والاتجاه نحو الریاضیات لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة لدولة الکویت، المجلة التربویة- جامعة الکویت، ١٨(٧٢)، ١١-٤٠.
شلش، لمیس باسم محمد (٢٠١٨). أثر استخدام أنشطة إلکترونیّة تفاعلیة فی تعدیل المفاهیم البدیلة فی موضوع الکسور العادیة لدى طلبة الصف الخامس الأساسی. مجلة دراسات العلوم التربویة، ٤٥(٣)، ٢٨٧-٣٠٠.
عطیفی، زینب محمود محمد کامل (٢٠٠٨). أثر استخدام التعلم التعاونی کأحد استراتیجیات التعلم النشط فی تدریس وحدة الکسور لتلامیذ المرحلة الابتدائیة على التحصیل والتفکیر الابتکاری. مجلة کلیة التربیة، جامعة أسیوط، ٢٤(١)، ٤٢٩-٤٦٥.
علی، طلعت أحمد حسن (٢٠٠٤). فعالیة برنامج لعلاج بعض صعوبات تعلم الکسور فی الریاضیات لدى تلامیذ الصف الرابع الابتدائی فی ضوء أسلوبی المعالجة المعرفیة المتتابع والمتزامن. مجلة کلیة التربیة، ٢٠(٢)، ١٦٣-١٩٠.
الغزو، إیمان محمد (٢٠٠٥). فاعلیة استخدام الیدویات فی رفع تحصیل تلامیذ الصف الخامس من الناحیتین الإجرائیة والمفاهیمیة فی موضوع الکسور بمادة الریاضیات. دراسات فی المناهج وطرق التدریس، ١٠٦، ٤٤-٦٩.
مقدادی، ربی محمد فخری وملکاوی، آمال رضا حسن والزعبی، علی محمد علی (٢٠١٣). المعرفة المفاهیمیة والمعرفة الإجرائیة المتعلقة بالکسور وعلاقتهما بقلق الریاضیات لدى الطلبة/المعلمین. دراسات العلوم التربویة، ٤٠(٢)، ١٥٥٥-١٥٧٠.

ثانیا المراجع الأجنبیة:
Barnes, D. (2008). Exploring talk for learning. In N. Mercer & S. Hodgkinson (Eds.), Exploring talk in school (pp. 1-15). Thousand Oaks, CA: Sage.
Bertolone-Smith, C. (2016). A fourth-grade teaching experiment on fraction magnitude: Investigating student reasoning through mathematical discourse and design research. Dissertation. University of Nevada, Reno.
Blumberg, P. (2009). Developing learner-centered teaching: A practical guide for faculty. Jossey-Bass Inc Pub.
Booth, J. L., & Newton, K. J. (2012). Fractions: Could they really be the gatekeeper’s doorman? Contemporary Educational Psychology, 37, 247-253.
Bruce, C., Chang, D., Flynn, T., & Yearley, S. (2013). Foundations to learning and teaching fractions: Addition and subtraction. Trent University Shelley Yearley, Trillium Lakelands DSB.
Chapin, S., O’Connor, C. & Anderson, N. (2009). Classroom discussions: Using math talk to help students learn. USA: Math Solutions.
Creswell, J. W. (2014). Research design qualitative, quantitative and mixed methods approaches (4th ed.). Thousand Oaks, CA Sage.
Durfee A, M. (2018). An exploratory case study of how high-performance team training develops sociomathematical norms and differing levels of math-talk. Dissertation. Utah State University.
Duzenli-Gokalp, N., & Sharma, M. D. (2010). A study on addition and subtraction of fractions: The use of Pirie and Kieren model and hands-on activities. Procedia-Social and Behavioral Sciences, 2(2), 5168-5171.
Foss, A. (2013). Exploring the effects of implementing focus math talk practices in a fourth-grade classroom. Thesis. Hamline University.
Frank, J. (2013). The effects of using math talks to improve instruction in a kindergarten classroom. Thesis. St. Catherine University.
Gokalp, N. (2012). A study of sixth grade students’ understanding of multiplication of fractions using Pirie and Kieren model. Theses. Middle East Technical University.
Gulkilik, H., Ugurlu, H., & Yuruk, N. (2015). Examining students’ mathematical understanding of geometric transformations using the Pirie-Kieren model. Educational Sciences: Theory & Practice, 15(6), 1531-1548.
Hufferd-Ackles, K., Fuson, K. C., & Sherin, M. B. (2004). Describing levels and components of a math-talk learning community. In E. A. Silver & P. A. Kenney (Eds.), Lessons learned from research. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Maher, C.A. & Sigley, R. (2014) Task-based interviews in mathematics
Education. In S. Lerman (ed.) Encyclopedia of mathematics education (pp. 579-582). Dordrecht The Netherlands: Springer.
Martin, L. C. (2001). Growing mathematical understanding: Teaching and learning as listening and sharing. In R. Speiser, C. Maher, C. Walter, Proceedings of the Annual Meeting of the North American. Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education.
Martin, L. C., & Towers, J. (2015). Growing mathematical understanding through collective image making, collective image having, and collective property noticing. Educational Studies in Mathematics, 88(1), 3-18.
McMillan, J. (2008). Educational research: Fundamentals for the consumer (5th ed.). Boston: Pearson.
Merriam, S. (1998). Qualitative research and case study applications in education: Revised and expanded from case study research in education. San Francisco: Jossey-Bass Publication.
Mills, J. (2011). Body fractions: A physical approach to fraction learning. Australian Primary Mathematics Classroom, 16(2), 17–22.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2014). Principles to actions: Ensuring mathematical success for all. Reston, VA: NCTM.
Okamoto, Y. (2015). The implementation process and impact of a six-week
number talk intervention with sixth grade middle school students in a large urban middle school. Dissertation. University of California.
Patton, M. Q. (2002). Qualitative research and evaluation methods. Thousand Oaks, CA: Sage.
Payan, E. (2017). The impact of math talks on student achievement in kindergarten. Theses. Hamline University
Pirie, S. & Kieren, T. (1992). Watching Sandy's understanding grow. Journal of Mathematical Behavior, 11, 243-257.
Pirie, S. & Kieren, T. (1994). Beyond metaphor: Formalizing in mathematical understanding within constructivist environment. For the Learning of Mathematics, 14(1), 39-43.
Pirie, S. & Martin, L. (2000). The role of collecting in the growth of mathematical understanding. Mathematics Education Research Journal, 12(2), 127-146. The
Resnick, L., Asterhan, C., & Clarke, S. (2018). Accountable talk: Instructional dialogue that builds the mind. The International Academy of Education (IAE) and the International Bureau of Education (IBE) of the United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization (UNESCO). ng
Sengul, S. & Argat, A. (2015). The analysis of understanding factorial
concept processes of 7th grade students who have low academic achievements with Pirie Kieren theory. 7th World Conference on Educational Sciences, (WCES-2015), 05-07 February 2015, Novotel Athens Convention Center, Athens, Greece.
Siegler, R.S., Fazio, L.K., Bailey, D.H. and Zhou, X. (2013) Fractions: The new frontier for theories of numerical development. Trends in Cognitive Sciences, 17 (1), 13-19.
Staples, M., Bartlo, J., & Thanheiser, E. (2012). Justification as a teaching and learning practice: Its (potential) multifacted role in middle grades mathematics classrooms. Journal of Mathematical Behavior, 31, 447– 462.
Thanheiser, E., Staples. M., Bartlo, J., Sitomer, A., & Heim, K. (2010). Justification in middle school classrooms: How do middle school teachers define justification and its role in the classroom? Proceedings of the thirty-second annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Columbus, OH.
Torbeyns, J., Schneider, M., Xin, Z., & Siegler, R. S. (2015). Bridging the gap: Fraction understanding is central to mathematics achievement in students from three different continents. Learning and Instruction, 37, 5-13
Warner, L. (2008). How do students' behaviors relate to the growth of their mathematical ideas? Journal of Mathematical Behavior, 27(3), 206-227.
Warner, L. & Schorr, R. (2004). From primitive knowing to formalising: The role of student-to- student questioning in the development of mathematical understanding. In D. McDougall & J.A. Ross (Eds.) Proceedings of theTwenty-Sixth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education: Building Connections Between Communities (pp. 429-437), Toronto, Ontario.
Washington, E. (2015). The impact of the number talks strategy on student performance and attitudes of teachers and administrators in grades 3-8. Dissertation. Dallas Baptist University.
Yin, R. (2009). Case study research: Design and methods (4st ed.). Los Angeles: Sage.